Координаты

Координа́ты (от лат. co – совместно и ordinatus – упорядоченный, определённый), числа, заданием которых определяется положение точки на плоскости, на поверхности или в пространстве. Первыми координатами, вошедшими в систематическое употребление, являются астрономические (см. Системы небесных координат) и географические координаты – широта и долгота, определяющие положение точки на небесной сфере или на поверхности земного шара. В 14 в. Николай Орем пользовался координатами на плоскости для построения графиков, называя долготой и широтой то, что ныне называют абсциссой и ординатой. Систематически метод координат, позволяющий переводить задачи геометрии на язык математического анализа и обратно и тем самым геометрически истолковывать факты анализа, начал применять Р. Декарт. Кроме координат точки, рассматривают также координаты прямой, плоскости и других геометрических объектов, считая параметры, однозначно определяющие эти объекты, их координатами. Аналогами координат являются, например, коэффициенты многочлена и коэффициенты ряда Фурье.

На плоскости и в пространстве помимо декартовой системы координат используются полярные координаты на плоскости и сферические координаты в пространстве. Полярные координаты точки на плоскости (рис. 1) получают, выбирая точку ${\displaystyle O}$ (полюс) и выходящий из неё луч ${\displaystyle ON}$ (полярную ось). Координатами точки ${\displaystyle M}$ служат расстояние ${\displaystyle \rho =\mid {\overrightarrow {OM}}\mid }$ (полярный радиус) и угол ${\displaystyle \phi =\angle NOM}$ (полярный угол). Каждой точке ${\displaystyle M}$ плоскости соответствует пара чисел ${\displaystyle (\rho ,\phi )}$, где ${\displaystyle 0\leqslant \rho <\infty }$, ${\displaystyle 0\leqslant \phi <2\pi }$, эти числа называются полярными координатами точки ${\displaystyle M}$.

Соответствие между точками ${\displaystyle M}$, отличными от ${\displaystyle O}$, и парами ${\displaystyle (\rho ,\phi )}$, подчинёнными указанным условиям, взаимно однозначно. Для точки ${\displaystyle O}$ величина ${\displaystyle \rho =0}$, а угол ${\displaystyle \phi }$ не определён.

Если на плоскости используются и декартова прямоугольная, и полярная системы координат такие, что полюс ${\displaystyle O}$ полярной системы и начало координат ${\displaystyle O}$ декартовой системы совпадают, а луч ${\displaystyle ON}$ совпадает с осью ${\displaystyle Ox}$, то декартовы координаты ${\displaystyle (x,y)}$ и полярные координаты ${\displaystyle (\rho ,\phi )}$ (рис. 2) связаны равенствами

${\displaystyle x=\rho \cos \,\phi ,\ \ \ \ y=\rho \cos \,\phi }$.

Полярные координаты в неявном виде использовал древнегреческий учёный Динострат (4 в. до н. э.). И. Ньютон в «Методе флюксий» (1670–1671) трижды использовал полярные координаты и привёл формулы, связывающие их с прямоугольными координатами. В почти современном виде полярные координаты появились у Я. Бернулли (1691), чёткое представление об определении точки на плоскости при помощи полярных координат имеется у Л. Эйлера (1748).

Сферическими координатами точки ${\displaystyle M}$ в пространстве являются три числа ${\displaystyle r,\theta ,\phi }$, которые определяются следующим образом. Через фиксированную точку ${\displaystyle O}$ проводятся три взаимно перпендикулярные оси ${\displaystyle Ox,Oy,Oz}$ (рис. 3). Число ${\displaystyle r}$ равно расстоянию от точки ${\displaystyle O}$ до точки ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle \theta }$ представляет собой угол между вектором ${\displaystyle {\overrightarrow {OM}}}$ и положительным направлением оси ${\displaystyle Oz}$, ${\displaystyle \phi }$ – угол, на который надо повернуть против часовой стрелки положительную полуось ${\displaystyle Ox}$ до совпадения с направлением вектора ${\displaystyle {\overrightarrow {ON}}}$ (${\displaystyle N}$ – проекция точки ${\displaystyle M}$ на плоскость ${\displaystyle xOy}$). Сферические координаты точки ${\displaystyle M}$ зависят от выбора точки ${\displaystyle O}$ и трёх осей ${\displaystyle Ox,Oy,Oz}$. Связь сферических координат с прямоугольными декартовыми координатами устанавливается формулами

${\displaystyle x=r\sin \theta \cos \phi ,\ \ \ y=r\sin \theta \sin \phi ,\ \ \ z=r\cos \theta }$.

Формулы, связывающие сферические координаты с прямоугольными координатами, приведены Ж.-Л. Лагранжем (1773), название «сферические координаты» предложил немецкий учёный Г. Бальтцер (1882).

В случае общих декартовых координат на плоскости линии ${\displaystyle x=c,-\infty <c<\infty }$, образуют множество прямых, параллельных оси ${\displaystyle Oy}$, а линии ${\displaystyle y=c,-\infty <c<\infty }$, – множество прямых, параллельных оси ${\displaystyle Ox}$; через точку ${\displaystyle M}$ с декартовыми координатами ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ проходит одна прямая ${\displaystyle x=x_{0}}$ из первого множества и одна прямая ${\displaystyle y=y_{0}}$ из второго множества. В случае полярных координат линии ${\displaystyle \rho =c,c>0}$, являются окружностями, а линии ${\displaystyle \phi =c,0\leqslant c<2\pi }$, – лучами, выходящими из начальной точки ${\displaystyle O}$; через точку ${\displaystyle M}$ с полярными координатами ${\displaystyle (\rho _{0},\phi _{0})}$, отличную от ${\displaystyle O}$, проходит по одной линии ${\displaystyle \rho =\rho _{0}}$ и ${\displaystyle \phi =\phi _{0}}$ каждого из двух указанных семейств, эти линии пересекаются в точке ${\displaystyle M}$. В более общем случае рассматривают в какой-либо области ${\displaystyle G}$ плоскости две функции точки ${\displaystyle u(M)}$ и ${\displaystyle v(M)}$ такие, что каждая линия ${\displaystyle u(M)=const}$ пересекается с каждой линией семейства ${\displaystyle v(M)=const}$ в пределах области ${\displaystyle G}$ в одной точке. В этом случае числа ${\displaystyle u(M)}$ и ${\displaystyle v(M)}$ называются криволинейными координатами, они однозначно определяют положение точки ${\displaystyle M}$ в области ${\displaystyle G}$, т. е. являются координатами точки ${\displaystyle M}$ в этой области. В пространстве также пользуются системами криволинейных координат, схема построения которых такова: в какой-либо области ${\displaystyle G}$ пространства рассматриваются три функции точки ${\displaystyle u(M),v(M),w(M)}$ такие, что через каждую точку ${\displaystyle M}$ области ${\displaystyle G}$ проходит одна поверхность семейства ${\displaystyle u=const}$, одна поверхность семейства ${\displaystyle v=const}$ и одна поверхность семейства ${\displaystyle w=const}$. Тем самым каждой точке ${\displaystyle M}$ ставятся в соответствие три числа (${\displaystyle u,v,w}$) – её координаты в области ${\displaystyle G}$. Аналогично вводятся криволинейные координаты на поверхности. Например, для случая долготы ${\displaystyle \phi }$ и широты ${\displaystyle \theta }$ на сфере линиями ${\displaystyle \phi =const}$ являются меридианы, а линиями ${\displaystyle \theta =const}$ – параллели. Криволинейные координаты на произвольной поверхности применяются в дифференциальной геометрии. Криволинейные координаты впервые использовал Я. Бернулли (1691), координатами назвал их год спустя Г. В. Лейбниц. С именем К. Ф. Гаусса связаны криволинейные координаты на поверхности. Криволинейные координаты в пространстве и название «криволинейные координаты» ввёл Г. Ламе (1833).