Плоскость

Пло́скость, простейшая поверхность. При систематическом изложении геометрии понятие плоскости обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии. Некоторые характеристические свойства плоскости: 1) плоскость есть поверхность, содержащая полностью каждую прямую, проходящую через любые две её точки; 2) плоскость есть множество точек, равноотстоящих от двух заданных точек.

Плоскость – алгебраическая поверхность первого порядка: в декартовой системе координат плоскость может быть задана уравнением первой степени. Общее уравнение (полное) плоскости:

${\displaystyle Ax+By+Cz+D=0,}$ (1)

где ${\displaystyle A,B,C,D}$ – постоянные, причём ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ одновременно не равны нулю; в векторной форме:

${\displaystyle (r,N)+D=0}$,

где ${\displaystyle r}$ – радиус-вектор точки ${\displaystyle M(x,y,z)}$ плоскости, вектор ${\displaystyle N=(A,B,C)}$ перпендикулярен к плоскости (нормальный вектор), ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ означает скалярное произведение. Направляющие косинусы вектора ${\displaystyle N}$:

${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {A}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}},}$
${\displaystyle \cos \beta ={\frac {B}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}},}$
${\displaystyle \cos \gamma ={\frac {C}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}.}$

Если один из коэффициентов в уравнении (1) равен нулю, то оно называется неполным. При ${\displaystyle D=0}$ плоскость проходит через начало координат; при ${\displaystyle A=0}$ (или ${\displaystyle B=0}$, или ${\displaystyle C=0}$) плоскость параллельна оси ${\displaystyle Ox}$ (соответственно ${\displaystyle Oy}$, или ${\displaystyle Oz}$); при ${\displaystyle A=B=0}$ (или ${\displaystyle A=C=0}$, или ${\displaystyle B=C=0}$) плоскость параллельна плоскости ${\displaystyle Oxy}$ (соответственно ${\displaystyle Oxz}$ или ${\displaystyle Oyz}$).

Уравнение плоскости в отрезках:

${\displaystyle {\dfrac {x}{a}}+{\dfrac {y}{b}}+{\dfrac {z}{c}}=1}$,

где ${\displaystyle a=-{\frac {D}{A}}}$, ${\displaystyle b=-{\frac {D}{b}}}$, ${\displaystyle c=-{\frac {D}{C}}}$ – отрезки, отсекаемые плоскостью на осях ${\displaystyle Ox}$, ${\displaystyle Oy}$ и ${\displaystyle Oz}$ (рис.).

Уравнение плоскости, проходящей через точку ${\displaystyle M(x_{0},y_{0},z_{0})}$, перпендикулярно вектору ${\displaystyle N=(A,B,C)}$:

${\displaystyle A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0}$;

в векторной форме:

${\displaystyle ((r-r_{0}),N)=0}$,

где ${\displaystyle r_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})}$.

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки ${\displaystyle M_{i}(x_{i},y_{i},z_{i})}$, ${\displaystyle i=1,2,3}$, не лежащие на одной прямой:

${\displaystyle ((r-r_{1}),(r_{2}-r_{1}),(r_{3}-r_{1}))=0}$,

где ${\displaystyle (\cdot ,\cdot ,\cdot )}$ означает смешанное произведение, иначе

${\displaystyle {\begin{matrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\\ x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\\ x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\end{matrix}}=0}$.

Нормальное (нормированное) уравнение плоскости:

${\displaystyle x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma -p=0;}$ (2)

в векторной форме:

${\displaystyle (r,N^{0})-p=0}$,

где ${\displaystyle N^{0}}$ – единичный вектор, ${\displaystyle p}$ – расстояние от плоскости до начала координат. Уравнение (2) может быть получено из уравнения (1) умножением на нормирующий множитель

${\displaystyle \mu =\pm {\dfrac {1}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}}$

(знаки ${\displaystyle \mu }$ и ${\displaystyle D}$ противоположны).

Отклонение точки ${\displaystyle M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1})}$ от плоскости:

${\displaystyle \delta =x_{1}\cos \alpha +y_{1}\cos \beta +z_{1}\cos \gamma -p}$;

${\displaystyle \delta >0}$, если ${\displaystyle M_{1}}$ и начало координат лежат по разные стороны плоскости, в противном случае ${\displaystyle \delta <0}$. Расстояние от точки до плоскости равно ${\displaystyle \mid \delta \mid }$.

Если две плоскости заданы уравнениями (1), то для угла ${\displaystyle \phi }$ между ними справедливо равенство

${\displaystyle \cos \phi ={\dfrac {A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}}{\sqrt {(A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2})(A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2})}}}}$;

в векторной форме:

${\displaystyle \cos \phi ={\dfrac {(N_{1},N_{2})}{\mid N_{1}\mid \mid N_{2}\mid }}}$.

Плоскости параллельны, если

${\displaystyle {\dfrac {A_{1}}{A_{2}}}={\dfrac {B_{1}}{B_{2}}}={\dfrac {C_{1}}{C_{2}}}\quad {\text{или}}\quad [N_{1},N_{2}]=0}$,

где ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$ означает векторное произведение. Плоскости перпендикулярны, если

${\displaystyle A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}=0\quad {\text{или}}\quad (N_{1},N_{2})=0}$.

Пучком плоскостей называется множество плоскостей, проходящих через линию пересечения двух плоскостей. Если две плоскости заданы в виде (1), то уравнение любой плоскости пучка имеет вид

${\displaystyle \alpha (A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1})+\beta (A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2})=0}$,

где ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ – любые числа, не равные одновременно нулю.

Уравнение плоскости впервые встречается у А. Клеро (1731). Уравнение плоскости в отрезках, по-видимому, впервые получено Г. Ламе (1816–18), нормальное уравнение ввёл немецкий математик О. Гессе (1861).