Круговой метод в теории чисел

Кругово́й ме́тод в тео́рии чи́сел, один из наиболее общих методов аддитивной теории чисел. Пусть ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{k}}$ – произвольные множества натуральных чисел, ${\displaystyle N}$ – натуральное число и ${\displaystyle J_{k}(N)}$ – число решений уравнения

${\displaystyle n_{1}+n_{2}+\ldots +n_{k}=N,}$

где ${\displaystyle n_{1}\in X_{1}}$, ${\displaystyle n_{2}\in X_{2},\ldots ,n_{k}\in X_{k}}$. Изучением величин ${\displaystyle J_{k}(N)}$ занимается аддитивная теория чисел; например, если доказать, что ${\displaystyle J_{k}(N)}$ больше нуля при всех ${\displaystyle N}$, то это будет означать, что любое натуральное число является суммой ${\displaystyle k}$ слагаемых – чисел из множеств ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{k}}$ соответственно. Пусть, далее, ${\displaystyle s}$ – комплексное число, ${\displaystyle |s|<1}$, и

${\displaystyle \displaystyle g_{1}(s)=\sum _{n_{1}\in X_{1}}s^{n_{1}},\quad g_{2}(s)=\sum _{n_{2}\in X_{2}}s^{n_{2}},\ldots \quad g_{k}(s)=\sum _{n_{k}\in X_{k}}s^{n_{k}}}$.

Тогда функция

${\displaystyle \displaystyle g(s)=g_{1}(s)g_{2}(s)\ldots g_{k}(s)=\sum _{N=1}^{\infty }J_{k}(N)s^{N}}$

является производящей функцией величин ${\displaystyle J_{k}(N)}$. По формуле Коши

${\displaystyle \displaystyle J_{k}(N)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|s|=R<1}g(s)s^{-(N+1)}\,ds}$.

Последний интеграл изучается при ${\displaystyle R\to 1-0}$. Окружность интегрирования ${\displaystyle |s|=R}$ разбивается на «большие» и «малые» дуги, центрами которых являются рациональные числа. Для целого ряда аддитивных задач удается достаточно полно исследовать интегралы по «большим» дугам, которые дают «главную» часть величины ${\displaystyle J_{k}(N)}$, и оценить интегралы по «малым» дугам, которые дают «остаточный» член асимптотической формулы для ${\displaystyle J_{k}(N)}$.

Введение И. М. Виноградовым в круговой метод тригонометрических сумм не только сильно упростило его применение, но и дало возможность единым способом решать широкий круг самых разных аддитивных задач. Основой кругового метода в форме тригонометрических сумм является следующая формула:

${\displaystyle \displaystyle \int _{0}^{1}e^{2\pi i\alpha m}\,d\alpha ={\begin{cases}1,&m=0,\\0,&m\neq 0,\;m{\text{ - целое.}}\end{cases}}}$

Из этой формулы следует, что

${\displaystyle \displaystyle J_{k}(N)=\int _{0}^{1}s_{1}(\alpha )s_{2}(\alpha )\ldots s_{k}(\alpha )e^{-2\pi i\alpha N}\,d\alpha ,}$

где

${\displaystyle \displaystyle s_{m}(\alpha )=\sum _{n\in X_{m},n\leqslant N}e^{2\pi i\alpha n},\quad m=1,2,\ldots ,k}$.

Конечные суммы ${\displaystyle s_{m}(\alpha )}$ называются тригонометрическими. Для исследования ${\displaystyle J_{k}(N)}$ отрезок интегрирования ${\displaystyle [0,1]}$ разбивается на «большие» и «малые» дуги – отрезки с центрами в рациональных точках с «малыми» и «большими» знаменателями. Для многих аддитивных задач удаётся с хорошей точностью вычислить интегралы по «большим» дугам (тригонометрические суммы для ${\displaystyle \alpha }$ из «больших» дуг близки к рациональным тригонометрическим суммам с малым знаменателем, хорошо вычисляются и являются «большими»); на «малых» же дугах, которые содержат основную долю точек отрезка ${\displaystyle [0,1]}$, тригонометрические суммы «малы»; их удается нетривиально оценить, что позволяет получить асимптотическую формулу для ${\displaystyle J_{k}(N)}$ (см. статью Метод Виноградова).

С помощью кругового метода в форме тригонометрических сумм и метода Виноградова оценок тригонометрических сумм получены наиболее сильные результаты в аддитивной теории чисел (см. также Проблема Варинга, Проблема Гольдбаха).