Проблема Варинга

Пробле́ма Ва́ринга, проблема о представимости каждого целого положительного числа суммой ограниченного числа одних и тех же степеней целых неотрицательных чисел. Проблема Варинга сформулирована Э. Варингом (1770) в следующем виде: доказать, что каждое натуральное число является суммой не более четырёх квадратов, девяти кубов, девятнадцати биквадратов и т. д. Современная формулировка проблемы Варинга: при любом натуральном числе ${\displaystyle n\geq 2}$ существует натуральное число ${\displaystyle k=k(n)}$ такое, что каждое натуральное число ${\displaystyle N}$ представляется суммой ${\displaystyle k}$ слагаемых вида ${\displaystyle x^{n}}$, где ${\displaystyle x}$ – неотрицательное целое число. Это утверждение обобщает теорему Лагранжа о том, что каждое натуральное число есть сумма четырёх квадратов целых чисел (1770). В общем виде, т. е. при любом ${\displaystyle n\geq 2}$, решение проблемы Варинга получено Д. Гильбертом (1909). Частные решения проблемы Варинга (при ${\displaystyle n\leq 10}$) были известны до 1909 г. В 1920 г. новое решение проблемы Варинга, отличное от решения Гильберта, дали Г. Харди и Дж. Литлвуд на основе созданного ими (совместно с С. Рамануджаном) кругового метода. В 1934 г. И. М. Виноградов на основе своего метода тригонометрических сумм получил близкие к окончательным ответы на вопросы, поставленные Харди и Литлвудом о поведении функции ${\displaystyle k=k(n)}$.