Математический анализ

В математическом анализе исходят из определения функции, которое в случае числовых функций одного переменного формулируется следующим образом: если каждому числу ${\displaystyle x}$ из некоторого множества чисел поставлено в соответствие число ${\displaystyle y}$, то этим определена функция ${\displaystyle y=f(x)}$ переменного ${\displaystyle x}$, называемого аргументом функции. Аналогично определяются функции ${\displaystyle n}$ переменных ${\displaystyle f(x)=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$, где ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ – точки ${\displaystyle n}$-мерного пространства, рассматривают также функции ${\displaystyle f(x)=f(x_{1},x_{2},\ldots )}$ точек ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots )}$ бесконечномерных пространств, такие функции чаще называют функционалами.

Фундаментальное значение в математическом анализе имеют элементарные функции, ими, в частности, приближают функции более сложной природы. Элементарные функции рассматривают не только для действительных, но и для компле́ксных аргументов.

Изучение функций базируется на понятии действительного числа, которое окончательно сформировалось в конце 19 в. В частности, была установлена логически безупречная связь между числами и точками прямой, приведшая к формальному обоснованию идей Р. Декарта (середина 17 в.), который ввёл в математику прямоугольную систему координат и представление функций графиками.

В математическом анализе при изучении функций используется предельный переход, с помощью которого определяются различные пределы, например предел последовательности и предел функции. Эти понятия окончательно сформировались только в 19 в., хотя представление о них имели ещё древние греки. Так, Архимед умел вычислять площадь сегмента параболы при помощи процесса, который сейчас называется предельным переходом.

Важный класс функций, изучаемых в математическом анализе, составляют непрерывные функции. Одно из возможных определений этого понятия состоит в следующем: функция ${\displaystyle y=f(x)}$ одного переменного ${\displaystyle x}$, заданная на интервале ${\displaystyle (a,b)}$, называется непрерывной в точке ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle x\in (a,b)}$, если

${\displaystyle \lim _{\Delta x->0}\Delta y=0}$,

где ${\displaystyle \Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)}$. Функция называется непрерывной на интервале ${\displaystyle (a,b)}$, если она непрерывна во всех его точках; график непрерывной функции представляет собой кривую, непрерывную в обыденном понимании этого слова.

Среди непрерывных функций выделяются функции, имеющие производную. Производная функции ${\displaystyle y=f(x)}$, ${\displaystyle a<x<b}$, в точке ${\displaystyle x}$ – это скорость изменения ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle x}$, т. е. предел

${\displaystyle \lim _{\Delta x->0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x->0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}},}$ (1)

если он существует, обозначаемый обычно ${\displaystyle f'(x)}$. Если ${\displaystyle y}$ – координата в момент времени ${\displaystyle x}$ точки, движущейся по оси ординат, то ${\displaystyle f'(x)}$ – мгновенная скорость точки при данном значении ${\displaystyle x}$.

По знаку производной ${\displaystyle f'(x)}$ можно судить о характере изменения ${\displaystyle f(x)}$: если ${\displaystyle f'(x)>0}$ (или ${\displaystyle f'(x)<0}$) на интервале ${\displaystyle (c,d)}$, принадлежащем ${\displaystyle (a,b)}$, то функция ${\displaystyle f}$ возрастает (соответственно, убывает) на интервале ${\displaystyle (c,d)}$. Если функция ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle x_{0}}$, ${\displaystyle a<x_{0}<b}$, достигает экстремума (максимума или минимума) и имеет в этой точке производную, то ${\displaystyle f'(x_{0})=0}$, иначе говоря, скорость изменения ${\displaystyle f(x)}$ при ${\displaystyle x=x_{0}}$ равна нулю.

Равенство (1) можно заменить эквивалентным равенством

${\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}=f'(x)+\varepsilon (\Delta x)}$,

или

${\displaystyle \Delta y=f'(x)\Delta x+\Delta x\epsilon (\Delta x)}$,

где ${\displaystyle {{\ce {\epsilon ( \Delta x) -> 0}}}}$ при ${\displaystyle {{\ce {\Delta x -> 0}}}}$, т. е. ${\displaystyle \epsilon (\Delta x)}$ есть бесконечно малая, когда ${\displaystyle {{\ce {\Delta x -> 0}}}}$. Т. о., если функция ${\displaystyle f}$ имеет производную в точке ${\displaystyle x}$, то приращение ${\displaystyle f}$ в этой точке можно представить в виде суммы двух слагаемых. Первое из них,

${\displaystyle dy=f'(x)\Delta x,}$ (2)

есть линейная функция от ${\displaystyle \Delta x}$ (пропорциональная ${\displaystyle \Delta x}$), а второе стремится к нулю быстрее, чем ${\displaystyle \Delta x}$. Величина (2) называется дифференциалом функции, соответствующим приращению ${\displaystyle \Delta x}$. При малых ${\displaystyle \Delta x}$ можно считать ${\displaystyle \Delta y}$ приближённо равным ${\displaystyle dy}$. Приведённые рассуждения о дифференциале характерны для всего математического анализа. Они распространяются на функции многих переменных и на функционалы.

Наряду с производной, фундаментальное значение в математическом анализе имеет понятие интеграла. Говорят, что функция ${\displaystyle F(x)}$ является первообразной функции ${\displaystyle f(x)}$на интервале ${\displaystyle (a,b)}$, если на этом интервале ${\displaystyle F'(x)=f(x)}$. Неопределённым интегралом от функции ${\displaystyle f(x)}$ на интервале ${\displaystyle (a,b)}$ называется произвольная первообразная функции ${\displaystyle f(x)}$ на этом интервале. Его обозначают

${\displaystyle \int f(x)\,dx}$.

Определённым интегралом (Римана) от функции ${\displaystyle f}$ на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ называется предел

${\displaystyle \lim _{}\sum _{j=0}^{N-1}f(\xi _{j})(x_{j+1}-x_{j})}$ (3)

при ${\displaystyle {\ce {\max _{j}(x_{j+1}-x_{j})->0}}}$. Здесь

${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\ldots <x_{N-1}<x_{N}=b,\quad x_{j}\leqslant \xi _{j}\leqslant x_{j+1}}$.

Этот предел обозначается

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$.

Если функция ${\displaystyle f(x)}$ положительна и непрерывна на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$, то интеграл от неё на этом отрезке равен площади фигуры, ограниченной кривой ${\displaystyle y=f(x)}$, осью ${\displaystyle Ox}$ и прямыми ${\displaystyle x=a}$ и ${\displaystyle x=b}$. О существовании предела ${\displaystyle (3)}$ и о других определениях интеграла см. в ст. Интеграл.

Формула Ньютона – Лейбница. Между производной и интегралом имеется связь, выражаемая формулой Ньютона – Лейбница

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)}$.

Здесь ${\displaystyle f(x)}$ – непрерывная на ${\displaystyle [a,b]}$ функция, а ${\displaystyle F(x)}$ – её первообразная.

Наряду с производной и интегралом важнейшим понятием и инструментом исследования в математическом анализе является формула Тейлора и ряд Тейлора. Если функция ${\displaystyle f(x)}$, ${\displaystyle a<x<b}$, имеет в некоторой окрестности точки ${\displaystyle x_{0}}$, ${\displaystyle a<x_{0}<b}$, непрерывные производные до порядка ${\displaystyle n}$ включительно, то её можно приблизить в этой окрестности многочленом по степеням ${\displaystyle x-x_{0}}$

${\displaystyle P_{n}(x)=f(x_{0})+{\frac {f'(x_{0})}{1!}}(x-x_{0})+\ldots +{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}}$,

называемым её многочленом Тейлора (степени ${\displaystyle n}$), т. е.

${\displaystyle f(x)\approx P_{n}(x)}$

(формула Тейлора). При этом ошибка приближения

${\displaystyle R_{n}(x)=f(x)-P_{n}(x)}$

стремится к нулю при ${\displaystyle {{\ce {x -> x_0}}}}$ быстрее, чем ${\displaystyle (x-x_{0})^{n}}$. Т. о., функция ${\displaystyle f(x)}$ в окрестности точки ${\displaystyle x_{0}}$ может быть приближена весьма простой функцией (многочленом), для вычисления которой требуются только арифметические операции.

Особо важными являются функции, имеющие производные всех порядков в окрестности точки ${\displaystyle x_{0}}$ такие, что для них в этой окрестности ${\displaystyle {{\ce {R_n(x) -> 0}}}}$ при ${\displaystyle {\ce {n->\infty }}}$. Они могут быть представлены в виде бесконечного степенного ряда Тейлора

${\displaystyle f(x)=f(x_{0})+{\frac {f'(x_{0})}{1!}}(x-x_{0})+\ldots +{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}+\ldots }$.

Разложения Тейлора при определённых условиях возможны и для функций многих переменных, а также для функционалов и операторов.

До 17 в. математический анализ представлял собой совокупность решений разрозненных частных задач. Например, в интегральном исчислении – это задачи на вычисление площадей фигур, объёмов тел с кривыми границами, работы переменной силы и т. д. Каждая задача или частная группа задач решалась своим методом, подчас сложным и громоздким. Математический анализ как единое и систематическое целое сложился в трудах И. Ньютона, Г. В. Лейбница, Л. Эйлера, Ж.-Л. Лагранжа и других учёных 17–18 вв., а его база – теория пределов – была разработана О. Л. Коши в начале 19 в. Глубокий анализ исходных понятий математического анализа был связан с развитием в 19–20 вв. теории множеств, теории меры, теории функций действительного переменного и привёл к разнообразным обобщениям.