Алгебраическое уравнение

Алгебраи́ческое уравне́ние, уравнение, имеющее вид

${\displaystyle F(x_{1},...,x_{m})=0}$,

где ${\displaystyle F}$ – многочлен от ${\displaystyle m}$ переменных, которые называются неизвестными.

Предполагается, что коэффициенты многочлена принадлежат фиксированному основному полю ${\displaystyle K}$. Решением алгебраического уравнения называется такой набор значений неизвестных из поля ${\displaystyle K}$ (или его расширения), который после подстановки в многочлен ${\displaystyle F}$ обращает его в нуль. Основной задачей теории алгебраических уравнений является выяснение условий, когда у заданного алгебраического уравнения имеется решение, и описание множества всех решений.

Алгебраическое уравнение с одним неизвестным имеет вид

${\displaystyle F(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\ldots +a_{n}=0.\,\,}$ (1)

Предполагается, что ${\displaystyle n>0}$ и ${\displaystyle a_{0}\neq 0}$. Число ${\displaystyle n}$ называется степенью уравнения, а числа ${\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}}$ – его коэффициентами. Значения неизвестного ${\displaystyle x}$, являющиеся решениями уравнения, называются его корнями, а также корнями многочлена ${\displaystyle F(x)}$. Если ${\displaystyle \alpha }$ – корень уравнения ${\displaystyle (1)}$, то многочлен ${\displaystyle F(x)}$ делится без остатка на ${\displaystyle (x-\alpha )}$ (теорема Безу). Элемент ${\displaystyle \alpha }$ основного поля ${\displaystyle K}$ (или его расширения) называется ${\displaystyle k}$-кратным корнем алгебраического уравнения, если многочлен ${\displaystyle F(x)}$ делится на ${\displaystyle (x-\alpha )^{k}}$ и не делится на ${\displaystyle (x-\alpha )^{k+1}}$. Корни кратности ${\displaystyle 1}$ называются также простыми корнями уравнения.

Каждый многочлен степени ${\displaystyle n}$ с коэффициентами из поля ${\displaystyle K}$ имеет в ${\displaystyle K}$ не более ${\displaystyle n}$ корней, считая корни с учётом их кратностей. Если поле ${\displaystyle K}$ алгебраически замкнуто, то каждый такой многочлен имеет ровно ${\displaystyle n}$ корней с учётом их кратностей. В частности, это верно для поля комплексных чисел ${\displaystyle C}$ (основная теорема алгебры). Из теоремы Безу следует, что ${\displaystyle F(x)}$ можно представить в виде ${\displaystyle F(x)=a_{0}(x-\alpha _{1})\ldots (x-\alpha _{n})}$, где ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$ – корни уравнения. Корни и коэффициенты уравнения связаны формулами Виета

${\displaystyle {\begin{aligned}(-1)^{n}a_{0}\alpha _{1}\ldots \alpha _{n}=a_{n},\\(-1)^{n-1}a_{0}(\alpha _{1}\alpha _{2}\ldots \alpha _{n-1}+\alpha _{1}\ldots \alpha _{n-2}\alpha _{n}+\alpha _{2}\alpha _{3}...\alpha _{n})=a_{n-1},\\....................................................\\(-1)a_{0}(\alpha _{1}+\alpha _{2}+...+\alpha _{n})=a_{1}\end{aligned}}}$.

Всякое уравнение степени ${\displaystyle n\leqslant 4}$ разрешается в радикалах. Это означает, что для корней уравнения имеются явные формулы, выражающие корни через коэффициенты уравнения и использующие лишь сложение, вычитание, умножение, деление и извлечение корня. В случае ${\displaystyle n=2}$ (квадратное уравнение) формулы имеют вид

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{1}={\frac {-a_{1}+{\sqrt {a_{1}^{2}-4a_{0}a_{2}}}}{2a_{0}}}\\\alpha _{2}={\frac {-a_{1}-{\sqrt {a_{1}^{2}-4a_{0}a_{2}}}}{2a_{0}}}\end{aligned}}}$.

Решения задач, сводящихся к частным видам уравнений 2-й и 3-й степени, встречаются в клинописных текстах Древнего Вавилона. Первое изложение теории решения квадратных уравнений дано в «Арифметике» Диофанта (3 в.). Решение в радикалах уравнений 3-й и 4-й степени в общем виде было получено итальянскими математиками Дж. Кардано и Л. Феррари в 16 в. Почти 300 лет делались попытки найти общее решение в радикалах уравнений степеней, бо́льших четырёх. В 1826 г. Н. Х. Абелем было доказано, что это невозможно (однако не исключается возможность существования таких формул для конкретных уравнений степени ${\displaystyle n>4}$). Полное решение вопроса о том, при каких условиях алгебраическое уравнение разрешимо в радикалах, было получено Э. Галуа (около 1830). Вопрос о разрешимости уравнений в радикалах тесно связан с вопросом о геометрических построениях с помощью циркуля и линейки, в частности с делением окружности на ${\displaystyle n}$ равных частей, с доказательством невозможности удвоения куба, трисекции угла и квадратуры круга.

Для приложений весьма важен случай, когда коэффициенты и корни уравнения являются числами (из полей ${\displaystyle {\text{Z}}}$ целых, ${\displaystyle {\text{Q}}}$ рациональных, ${\displaystyle {\text{R}}}$ действительных или ${\displaystyle {\text{C}}}$ комплексных чисел); при этом часто используются специальные свойства этих полей (например, наличие в них топологии или упорядоченности). В этом случае с использованием специальных функций можно получить явные формулы для решения уравнений степени, большей четырёх.

Для практического нахождения корней уравнений с коэффициентами из ${\displaystyle {\text{R}}}$ и ${\displaystyle {\text{C}}}$ используют приближённые методы. Для оценки сверху числа действительных корней уравнений с действительными коэффициентами можно использовать теорему Декарта: число положительных корней, с учётом их кратностей, равно или на чётное число меньше числа перемен знаков в последовательности ненулевых коэффициентов уравнения.

Имеются многочисленные оценки для величин корней. Так, над полем ${\displaystyle {\text{C}}}$ величины ${\displaystyle |\alpha _{i}|,i=1,\ldots ,n}$, не превосходят ${\displaystyle 1+\max _{i>0}|a_{i}|/|a_{0}|}$.

Если коэффициенты вещественны и ${\displaystyle a_{0}\geqslant a_{1}\geqslant \ldots \geqslant a_{n}\geqslant 0}$, то все корни уравнения лежат на комплексной плоскости в единичном круге.

В связи с изучением вопроса об устойчивости механических систем возникает вопрос о том, когда все корни данного многочлена ${\displaystyle F(x)}$ имеют отрицательные действительные части (проблема Рауса – Гурвица). Такие многочлены ${\displaystyle F}$ называются устойчивыми. Основные результаты об устойчивых многочленах принадлежат Ш. Эрмиту, английскому учёному Э. Раусу, немецким математикам А. Гурвицу, И. Шуру.

Системы алгебраических уравнений с несколькими неизвестными изучаются в алгебраической геометрии. В отдельный раздел – теорию диофантовых уравнений – выделяется изучение алгебраических уравнений над незамкнутыми полями, такими как поле ${\displaystyle {\text{Q}}}$.

Системой алгебраических уравнений называется система уравнений, имеющая вид

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}(x_{1},\ldots ,x_{m})=0,\\..................\\F_{k}(x_{1},\ldots ,x_{m})=0\end{aligned}}}$.

Системы уравнений степени 1 (линейных уравнений) изучаются в линейной алгебре.

Простейший результат о числе решений системы алгебраических уравнений относится к случаю, когда имеется ${\displaystyle k}$ однородных уравнений от ${\displaystyle k+1}$ переменной. Все решения ${\displaystyle x_{1}^{*},\ldots ,x_{k+1}^{*}}$ объединяются в классы решений ${\displaystyle \lambda x_{1}^{*},\ldots ,\lambda x_{k+1}^{*}}$, где ${\displaystyle \lambda \neq 0}$ принадлежит полю ${\displaystyle K}$. Тогда число ненулевых (классов) решений системы с учётом их кратностей в общем случае равно произведению степеней многочленов ${\displaystyle F_{1},\ldots ,F_{k}}$. Условие общности состоит в том, что коэффициенты многочленов ${\displaystyle F_{1},\ldots ,F_{k}}$ не принадлежат некоторому алгебраическому многообразию в аффинном пространстве ${\displaystyle A}$ коэффициентов, имеющем строго меньшую размерность, чем ${\displaystyle A}$ (теорема Безу).

В случае когда рассматриваются системы неоднородных алгебраических уравнений, для нахождения числа их решений необходимо использовать более тонкие инварианты, чем степень, а именно многогранники Ньютона. Если

${\displaystyle F(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum a_{i}x_{1}^{i_{1}}\ldots x_{n}^{i_{n}}}$,

где ${\displaystyle i=(i_{1},...,i_{n})\in {\text{Z}}^{n}}$, то многогранником Ньютона многочлена ${\displaystyle F}$ называется выпуклая оболочка в пространстве ${\displaystyle {\text{R}}^{n}}$ точек ${\displaystyle i}$, для которых ${\displaystyle a_{i}\neq 0}$. Число решений системы алгебраических уравнений выражается через многогранники Ньютона многочленов ${\displaystyle F_{1},\ldots ,F_{k}}$.