Натуральное число

Натура́льное число́, одно из основных понятий математики. Натуральное число может быть истолковано как кардинальное число непустого конечного множества. Множество ${\displaystyle N=\{1,2,\ldots \}}$ всех натуральных чисел и операции над ними: сложение ${\displaystyle (+)}$ и умножение ${\displaystyle (\cdot )}$ – образуют систему натуральных чисел ${\displaystyle \langle N,+,\cdot ,1\rangle }$. В этой системе обе бинарные операции ассоциативны, коммутативны и связаны законом дистрибутивности; ${\displaystyle 1}$ – нейтральный элемент умножения, т. е. ${\displaystyle a\cdot 1=a}$ для любого натурального числа ${\displaystyle a}$, сложение не имеет нейтральных элементов и, более того, ${\displaystyle a+b\neq a}$ для любых натуральных чисел ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$. При этом выполняется условие (аксиома индукции): любое подмножество множества ${\displaystyle N}$, содержащее ${\displaystyle 1}$ и вместе с каждым элементом ${\displaystyle {a}}$ сумму ${\displaystyle a+1}$, совпадает с ${\displaystyle N}$. См. Натуральный ряд.