Производная

Произво́дная, основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции ${\displaystyle f(x)}$ при изменении аргумента ${\displaystyle x}$; производная есть функция, определяемая при каждом ${\displaystyle x_{0}}$ как предел

${\displaystyle \lim _{x->x_{0}}={\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}}$,

если он существует. Производная функции ${\displaystyle y=f(x)}$ обозначают ${\displaystyle f'(x)}$, ${\displaystyle y'}$, ${\displaystyle {\dfrac {dy}{dx}}}$, ${\displaystyle {\dfrac {df}{dx}}}$, ${\displaystyle Df(x)}$. Функция, имеющая производную в точке ${\displaystyle x_{0}}$, непрерывна в этой точке, однако существуют непрерывные функции, не имеющие производных во всех точках заданного промежутка. Если существует производная функции ${\displaystyle f'(x)}$, то её называют второй производной функции ${\displaystyle y=f(x)}$ и обозначают ${\displaystyle f''(x)}$, ${\displaystyle y''}$, ${\displaystyle {\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}}$, ${\displaystyle {\dfrac {d^{2}f}{dx^{2}}}}$, ${\displaystyle D^{2}f(x)}$. Аналогично определяется производная любого (целого) порядка ${\displaystyle n}$, которую обозначают ${\displaystyle f^{(n)}(x)}$, ${\displaystyle y^{(n)}}$, ${\displaystyle {\dfrac {d^{n}y}{dx^{n}}}}$, ${\displaystyle {\dfrac {d^{n}f}{dx^{n}}}}$, ${\displaystyle D^{n}f(x)}$. Для функций действительного переменного производная может быть недифференцируемой и даже разрывной. В комплексной же области существование первой производной влечёт существование производных всех порядков. Для функций многих переменных определяются частные производные – производные по одному из аргументов, вычисленные в предположении, что остальные аргументы постоянны.

Термин «производная» (а также «вторая производная» и др.) ввёл Ж.-Л. Лагранж (1797), обозначения ${\displaystyle y'}$, ${\displaystyle f'(x)}$, ${\displaystyle f''(x)}$ – он же (1770, 1779), а ${\displaystyle {\dfrac {dy}{dx}}}$ – Г. В. Лейбниц (1675). Частные производные появились в трудах И. Ньютона, Лейбница, Я. Бернуллии И. Бернулли, обозначения ${\displaystyle {\dfrac {\partial f}{\partial x}}}$, ${\displaystyle {\dfrac {\partial z}{\partial x}}}$ ввёл А.-М. Лежандр (1786), ${\displaystyle f'_{x},\,z'_{x}}$ – Лагранж (1797, 1801), ${\displaystyle {\dfrac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}}$, ${\displaystyle {\dfrac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}}}$ – К. Якоби (1837).