Целое число

Це́лое число́, натуральное число либо нуль, либо число, противоположное по сложению некоторому натуральному числу (т. е. в сумме с ним дающее нуль). Иными словами, множество ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ целых чисел – это расширение множества ${\displaystyle \mathbb {N} }$ натуральных чисел, которое получается путём добавления к ${\displaystyle \mathbb {N} }$ нуля ${\displaystyle 0}$ и, для каждого натурального числа ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, соответствующего противоположного числа, которое обозначается через ${\displaystyle -n}$. Таким образом,

${\displaystyle \mathbb {Z} =\{\dots ,-2,-1,0,1,2,\dots \}}$.

На числовой прямой положительные целые (т. е. натуральные) числа расположены справа от ${\displaystyle 0}$, а отрицательные целые числа (т. е. числа вида ${\displaystyle -n}$, где ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$) – слева.

Формальное математическое определение состоит в следующем. Рассмотрим множество ${\displaystyle M=\mathbb {N} \times \mathbb {N} }$ пар ${\displaystyle (m,n)}$, где ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ – натуральные числа. Пары ${\displaystyle (m,n)}$ и ${\displaystyle (m',n')}$ назовём эквивалентными, ${\displaystyle (m,n)\sim (m',n')}$, если ${\displaystyle m+n'=m'+n}$. Тогда ${\displaystyle \mathbb {Z} =M/\sim }$ есть множество классов эквивалентности пар. Оно естественно представляется в виде объединения ${\displaystyle \mathbb {Z} =\mathbb {N} \cup \{0\}\cup (-\mathbb {N} )}$ непересекающихся множеств, причём класс эквивалентности ${\displaystyle [(m,n)]}$ пары ${\displaystyle (m,n)}$ представляется элементом ${\displaystyle m-n\in \mathbb {N} }$, если ${\displaystyle m>n}$, элементом ${\displaystyle 0}$, если ${\displaystyle m=n}$, и элементом ${\displaystyle -(n-m)\in (-\mathbb {N} )}$, если ${\displaystyle m<n}$. Из этой конструкции видно, что каждое целое число можно представить в виде разности натуральных чисел.

Определённые на ${\displaystyle \mathbb {N} }$ операции сложения и умножения продолжаются на ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ следующим образом:

${\displaystyle [(m,n)]+[(k,l)]=[(m+n,k+l)],\quad [(m,n)]\times [(k,l)]=[(mk+nl,ml+nk)]}$,

причём относительно сложения ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ оказывается группой с нейтральным элементом ${\displaystyle 0}$ (группа Гротендика полугруппы ${\displaystyle \mathbb {N} }$); обратный элемент задаётся формулой ${\displaystyle -[(a,b)]=[(b,a)]}$.

В элементарных терминах арифметические действия над целыми числами описываются следующим образом.

1. Сложение и вычитание. Чтобы сложить два числа с одинаковыми знаками, надо сложить их модули и сумма будет иметь знак «${\displaystyle +}$» при сложении положительных чисел и знак «${\displaystyle -}$» при сложении отрицательных чисел. Например,

${\displaystyle 2+5=7,\quad (-3)+(-8)=-11}$.

При сложении двух чисел с разными знаками надо из большего модуля вычесть меньший и поставить перед полученным числом знак того слагаемого, модуль которого больше. Например,

${\displaystyle (-7)+12=5,\quad 10+(-37)=-27}$.

2. Умножение и деление. Произведение или частное целых чисел равно произведению или частному их модулей и имеет знак «${\displaystyle +}$», если числа одного знака, и «${\displaystyle -}$», если разного:

${\displaystyle 3\times 7=21,\quad (-6)\times (-10)=60,\quad 4\times (-9)=-36}$,

${\displaystyle 12:3=4,\quad 28:(-4)=-7,\quad (-60):(-12)=5}$.

Результат деления одного целого числа на другое не всегда является целым числом, т. е. множество целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ не замкнуто относительно деления. На множестве ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ определяется более общее понятие – деление с остатком. Для любых целых чисел ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle b\neq 0}$, существует единственный набор целых чисел ${\displaystyle q}$ и ${\displaystyle r}$, такой, что ${\displaystyle a=bq+r}$, ${\displaystyle 0\leq r<\mid b\mid }$, где ${\displaystyle a}$ – делимое, ${\displaystyle b}$ – делитель, ${\displaystyle q}$ – частное, ${\displaystyle r}$ – остаток.

Основные свойства операций над целыми числами.

1. Если ${\displaystyle a\in \mathbb {Z} ,b\in \mathbb {Z} }$, то ${\displaystyle a+b\in \mathbb {Z} ,a-b\in \mathbb {Z} ,a\times b\in \mathbb {Z} }$ (замкнутость).
2. ${\displaystyle a+b=b+a,a\times b=b\times a}$ (коммутативность).
3. ${\displaystyle a+(b+c)=(a+b)+c,a\times (b\times c)=(a\times b)\times c}$ (ассоциативность).
4. ${\displaystyle a\;\times \;(b\;+\;c)=(a\;\times \;b)\;+\;(a\;\times \;c)}$ (дистрибутивность умножения относительно сложения).
5. ${\displaystyle a+0=a,a\times 1=a}$ (существование нейтрального элемента).
6. ${\displaystyle a\;+\;(-a)=0}$ (существование противоположного элемента).