Дзета-функция Римана

Дзе́та-фу́нкция Ри́мана (${\displaystyle \zeta }$-функция), аналитическая функция комплексного переменного ${\displaystyle s=\sigma +it}$, при ${\displaystyle \sigma >1}$ определяемая абсолютно и равномерно сходящимся рядом Дирихле:

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}.}$ (1)

При ${\displaystyle \sigma >1}$ справедливо представление в виде произведения Эйлера:

${\displaystyle \zeta (s)=\Pi _{p}\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)^{-1},}$ (2)

где ${\displaystyle p}$ пробегает все простые числа.

Тождественность ряда ${\displaystyle (1)}$ и произведения ${\displaystyle (2)}$ представляет собой одно из основных свойств дзета-функции. Оно позволяет получить многочисленные соотношения, связывающие дзета-функцию с важнейшими теоретико-числовыми функциями. Поэтому дзета-функция играет большую роль в теории чисел.

Дзета-функция была введена как функция действительного переменного Л. Эйлером (1737, опубликовано в 1744), который указал её разложение в произведение ${\displaystyle (2)}$. Затем дзета-функция рассматривалась П. Дирихле и особенно успешно П. Л. Чебышёвым в связи с изучением закона распределения простых чисел. Наиболее глубокие свойства дзета-функции были обнаружены после работ Б. Римана, впервые в 1859 г. рассмотревшего дзета-функцию как функцию комплексного переменного; им же введено название «дзета-функция» и обозначение ${\displaystyle \zeta (s)}$.

Многие проблемы теории простых чисел тесно связаны с нулями дзета-функции. Известно, что дзета-функция имеет нули в точках ${\displaystyle s=-2n}$, где ${\displaystyle n=1,2,\ldots }$ (эти нули принято называть тривиальными), и что все остальные (нетривиальные) нули дзета-функции находятся в полосе 0 ${\displaystyle <\sigma <1}$, называемой критической полосой. Риман высказал предположение, что все нетривиальные нули дзета-функции расположены на прямой ${\displaystyle \sigma =1/2}$. Эта гипотеза Римана до сих пор (2022) не доказана и не опровергнута.