Производящая функция

Производя́щая фу́нкция (генератриса) последовательности ${\displaystyle u_{0},u_{1},\ldots ,u_{n},\ldots }$ – функция переменной ${\displaystyle t}$

${\displaystyle U(t)=\sum _{n=0}^{\infty }u_{n}t^{n}}$,

если степенной ряд сходится в каком-нибудь интервале ${\displaystyle \mid t\mid <t_{0}}$. Производящие функции определяются как для числовых, так и для функциональных последовательностей (в последнем случае производящая функция зависит не только от ${\displaystyle t}$, но и от аргументов функций ${\displaystyle u_{n}}$). Например, если ${\displaystyle u_{n}=aq^{n}}$ (где ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle q}$ – постоянные) – геометрическая прогрессия, то её производящая функция

${\displaystyle U(t)=\sum _{n=0}^{\infty }a(qt)^{n}={\frac {a}{1-qt}}}$;

если ${\displaystyle u_{n}=T_{n}(x)}$ – многочлены Чебышёва, ${\displaystyle T_{0}(x)\equiv 1}$, ${\displaystyle T_{n}(x)=\cos(n\arccos x)}$, ${\displaystyle n=1,2,\ldots }$, то соответствующая производящая функция

${\displaystyle U(t)=U(t,x)=\sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x)t^{n}={\frac {1-tx}{1-2tx+t^{2}}}}$.

Как правило, использование производящей функции упрощает изучение свойств последовательностей; при довольно широких условиях последовательность однозначно восстанавливается по производящей функции. Метод производящих функций используется в алгебре, теории функций и особенно в теории вероятностей, где этот метод был впервые применён А. де Муавром и П.-С. Лапласом.