Распределение простых чисел

Распределе́ние просты́х чи́сел, утверждения об асимптотическом поведении функции ${\displaystyle \pi (x)}$, где ${\displaystyle \pi (x)}$ – количество простых чисел, не превосходящих ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle x>0}$, при ${\displaystyle x\rightarrow \infty }$. Изучение начальных отрезков последовательности простых чисел показывает, что с увеличением ${\displaystyle x}$ она становится в среднем более редкой. Существуют сколь угодно длинные отрезки последовательности натуральных чисел, среди которых нет ни одного простого числа. В то же время встречаются простые числа, разность между которыми равна двум (они называются близнецами). Таблицы простых чисел, меньших 11 млн, показывают наличие весьма больших близнецов, такими являются, например, 10 006 427 и 10 006 429. Теорема Евклида утверждает, что ${\displaystyle \pi (x)\rightarrow \infty }$ при ${\displaystyle x\rightarrow \infty }$. Л. Эйлер в 1737 г. ввёл дзета-функцию

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-s}}$,

${\displaystyle s=\sigma +it}$, ${\displaystyle \sigma >0}$, и доказал, что

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }n^{-s}=\prod _{p}\left((1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)^{-1}}$,

где суммирование проводится по всем натуральным, а произведение – по всем простым числам. Это тождество и его обобщения играют фундаментальную роль в теории распределения простых чисел. Исходя из него, Эйлер доказал, что ряд ${\displaystyle \sum {\frac {1}{p}}}$ и произведение ${\displaystyle \prod \left(1-{\frac {1}{p}}\right)^{-1}}$ по простым ${\displaystyle p}$ расходятся, откуда следует теорема Евклида. Более того, Эйлер установил, что простых чисел «много», ибо ${\displaystyle \pi (x)>\ln x-1}$, и в то же время почти все натуральные числа являются составными, т. к. ${\displaystyle \pi (x)/x\rightarrow 0}$ при ${\displaystyle x\rightarrow \infty }$.

П. Дирихле в 1837 г., изучая вопрос о бесконечности простых чисел в арифметических прогрессиях ${\displaystyle nk+l}$, ${\displaystyle n=0,1,\ldots }$, где ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle l}$ – взаимно просты, рассмотрел аналог эйлерова произведения

${\displaystyle \prod _{p}\left(\ 1-{\frac {\chi (p)}{p^{s}}}\right)^{-1}}$,

где ${\displaystyle \chi (p)}$ удовлетворяет условиям: не равна тождественно нулю, периодична с периодом ${\displaystyle k}$ и вполне мультипликативна, т. е. ${\displaystyle \chi (nm)=c(n)\chi (m)}$ для любых целых ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle m}$. При ${\displaystyle s>0}$ справедлив аналог тождества Эйлера:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}=\prod _{p}\left(\ 1-{\frac {\chi (p)}{p^{s}}}\right)^{-1}}$.

Ряд слева называется рядом Дирихле. Изучая поведение таких рядов при ${\displaystyle s\rightarrow 1+0}$, Дирихле доказал свою теорему о бесконечности числа простых чисел в арифметических прогрессиях.

П. Л. Чебышёв в 1851–1852 гг. доказал, что существуют постоянные ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$, такие, что

${\displaystyle a{\frac {x}{\ln x}}<\pi (x)<b{\frac {x}{\ln x}}}$,

где ${\displaystyle {\frac {\ln 2}{2}}<a}$ и ${\displaystyle b<2\ln 2}$, и установил, что если существует предел

${\displaystyle {\frac {\pi (x)\ln x}{x}}}$

при ${\displaystyle x\rightarrow \infty }$, то он равен 1. В 1896 г. Ж. Адамар и Ш.-Ж. де Ла Валле Пуссен установили существование этого предела.