Рациональное число

Рациона́льное число́, число, которое может быть представлено в виде дроби ${\displaystyle m/n}$, где ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ – целые числа, ${\displaystyle n\neq 0}$. При этом дроби ${\displaystyle m_{1}/n_{1}}$ и ${\displaystyle m_{2}/n_{2}}$ считают равными рациональными числами, если ${\displaystyle m_{1}n_{2}=m_{2}n_{1}}$. Все целые числа являются рациональными. Отношение порядка между целыми числами распространяется на рациональные числа следующим образом: всякое положительное рациональное число больше всякого отрицательного рационального числа (положительное рациональное число – отношение двух положительных или двух отрицательных целых чисел); положительное рациональное число ${\displaystyle m_{1}/n_{1}}$ больше положительного рационального числа ${\displaystyle m_{2}/n_{2}}$, если ${\displaystyle m_{1}n_{2}>m_{2}n_{1}}$. Для отрицательных рациональных чисел порядок будет обратным порядку противоположных им положительных рациональных чисел.

Для рациональных чисел определяются операции сложения, вычитания, умножения и деления (кроме деления на нуль):

${\displaystyle {\frac {m_{1}}{n_{1}}}\pm {\frac {m_{2}}{n_{2}}}={\frac {m_{1}n_{2}\pm m_{2}n_{1}}{n_{1}n_{2}}},}$
${\displaystyle {\frac {m_{1}}{n_{1}}}\cdot {\frac {m_{2}}{n_{2}}}={\frac {m_{1}m_{2}}{n_{1}n_{2}}},}$
${\displaystyle }$
${\displaystyle {\frac {m_{1}}{n_{1}}}\div {\frac {m_{2}}{n_{2}}}={\frac {m_{1}n_{2}}{n_{1}m_{2}}}}$,

кроме того, ${\displaystyle {\frac {m}{n}}={\frac {km}{kn}}}$, ${\displaystyle k\neq 0}$. Т. о., рациональные числа образуют поле, которое обозначается ${\displaystyle {\boldsymbol {\rm {Q}}}}$. Поле ${\displaystyle {\boldsymbol {\rm {Q}}}}$ – минимальное поле, содержащее все целые числа.

Рациональные числа могут быть представлены конечными или бесконечными периодическими десятичными дробями. Всякое иррациональное число может быть заключено между двумя рациональными числами (значения по недостатку и избытку), разность между которыми сколь угодно мала, т. е. множество рациональных чисел является плотным в множестве действительных чисел. Оно, однако, не обладает свойством полноты (непрерывности). Минимальным пополнением множества рациональных чисел, обладающим свойством полноты, является множество действительных чисел.