Гипербола в математике

Гипе́рбола в математике, линия пересечения прямого кругового конуса плоскостью, не проходящей через вершину конуса и пересекающей обе его полости (рис. 1). Гипербола может быть также определена как геометрическое место точек ${\displaystyle M}$ плоскости, разность расстояний которых до двух определённых точек ${\displaystyle F_{1}}$ и ${\displaystyle F_{2}}$ плоскости (фокусов гиперболы) постоянна. Если выбрать систему координат ${\displaystyle xOy}$ так, как указано на рис. 2 (${\displaystyle OF_{1}=OF_{2}=c}$), то уравнение гиперболы примет вид:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$,

где ${\displaystyle 2a=F_{1}M-F_{2}M}$, ${\displaystyle b={\sqrt {c^{2}-a^{2}}}}$. Гипербола – линия второго порядка, состоит из двух бесконечных ветвей ${\displaystyle K_{1}A_{1}K'_{1}}$ и ${\displaystyle K_{2}A_{2}K'_{2}}$, она симметрична относительно осей ${\displaystyle F_{1}F_{2}}$ и ${\displaystyle B_{1}B_{2}}$, точка ${\displaystyle O}$ (центр гиперболы) является её центром симметрии, отрезки ${\displaystyle A_{1}A_{2}=2a}$, ${\displaystyle B_{1}B_{2}=2b}$ называются, соответственно, действительной осью гиперболы и мнимой осью гиперболы, число ${\displaystyle e=c/a>1}$ – эксцентриситетом гиперболы. Прямые ${\displaystyle D_{1}D'_{1}}$ и ${\displaystyle D_{2}D'_{2}}$, уравнения которых суть ${\displaystyle x=-a/e}$ и ${\displaystyle x=a/e}$, называют директрисами гиперболы, отношение расстояния точки гиперболы до ближайшего фокуса к расстоянию до ближайшей директрисы постоянно и равно эксцентриситету. Точки ${\displaystyle A_{1}}$ и ${\displaystyle A_{2}}$ пересечения гиперболы с осью ${\displaystyle Ox}$ называются её вершинами. Прямые ${\displaystyle y=\pm bx/a}$ (изображённые на рис. 2 пунктиром) – асимптоты гиперболы. График обратно пропорциональной зависимости ${\displaystyle y=k/x}$ является гиперболой. См. также Конические сечения.