Метод Виноградова

Ме́тод Виногра́дова, метод оценок тригонометрических сумм, используемых в различных задачах теории чисел. Тригонометрической суммой называется конечная сумма ${\displaystyle S}$ вида

${\displaystyle S=S(f)=\sum _{a<x\leqslant b}\exp(2\pi if(x))}$.

Здесь ${\displaystyle f(x)}$ – вещественная функция целочисленного аргумента ${\displaystyle x}$,${\displaystyle \exp(2\pi if(x))=\cos(2\pi f(x))+i\sin(2\pi f(x))}$, ${\displaystyle i^{2}=-1}$. Тригонометрическими суммами называют и такие суммы, в которых суммирование ведётся по целым числам ${\displaystyle x}$ определённой арифметической природы, например по простым числам, по бесквадратным числам и т. д. И. М. Виноградов обнаружил (1928), что многие проблемы теории чисел, такие, как аддитивные, т. е. проблемы о разрешимости уравнений в целых числах, частными случаями которых являются проблема Варинга и проблема Гольдбаха, проблемы о количестве точек с целочисленными координатами в областях на плоскости и в пространстве, проблемы поведения дробных долей вещественных функций, проблемы распределения простых чисел, проблемы распределения степенных вычетов и невычетов и др., могут быть сформулированы на языке тригонометрических сумм. Применив тригонометрические суммы для решения аддитивных проблем, И. М. Виноградов открыл мощный аналитический метод решения основных проблем теории чисел. Общая схема метода тригонометрических сумм Виноградова такова. Выписывается точная формула, выражающая число решений изучаемого уравнения, или число дробных долей изучаемой функции, попадающих на заданный интервал, или число точек в заданной области, в виде интеграла от тригонометрических сумм, или ряда, коэффициентами которого являются тригонометрические суммы. Точная формула представляется суммой двух слагаемых – главного и дополнительного (например, если рассматривается ряд Фурье характеристической функции интервала, то главное слагаемое получается от нулевого коэффициента ряда Фурье); главное слагаемое доставляет главный член формулы, дополнительное – остаточный член. Основной при оценке остаточного члена является проблема получения возможно более точных оценок верхней грани модуля возникающих здесь тригонометрических сумм.