Степень числа

Сте́пень числа́, произведение ${\displaystyle n}$ сомножителей, равных этому числу, обозначается

${\displaystyle a^{n}=a\cdot a\cdot ...\cdot a}$.

Здесь предполагается, что число ${\displaystyle n}$, называемое показателем степени, – натуральное число; число ${\displaystyle a}$ называется основанием степени. Число ${\displaystyle a^{2}}$ называется квадратом, а ${\displaystyle a^{3}}$ – кубом числа ${\displaystyle a}$ (${\displaystyle a^{2}}$ – площадь квадрата, а${\displaystyle a^{3}}$ – объём куба со стороной ${\displaystyle a}$). Основные действия над степенями даются формулами

${\displaystyle a^{n}a^{m}=a^{n+m},}$
${\displaystyle a^{n}:a^{m}=a^{n-m},}$
${\displaystyle (a^{n})^{m}=a^{nm}}$.

Понятие «степень» допускает обобщения: по определению, нулевая степень ${\displaystyle a^{0}=1}$, если ${\displaystyle a\neq 0}$; отрицательная степень ${\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}}$, если ${\displaystyle a\neq 0}$; дробная степень ${\displaystyle a^{n/m}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}}$, где ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{}}}$– корень степени ${\displaystyle n}$, здесь ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ – натуральные числа; и степень с иррациональным показателем ${\displaystyle a^{\lambda }=\lim _{r_{n}->\lambda }a^{r_{n}}}$, где ${\displaystyle r_{n}}$ – произвольная последовательность рациональных чисел, стремящаяся к ${\displaystyle \lambda }$. В теории аналитических функций рассматриваются также степени с комплексными основаниями и показателями. Все указанные выше правила действий справедливы и для обобщений понятия «степень».