Умножение

Умноже́ние, операция, сопоставляющая двум данным объектам ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$, называемым сомножителями, третий объект ${\displaystyle c}$, называемый произведением. Умножение обозначается знаком ${\displaystyle \times }$ (ввёл английский математик У. Отред в 1631) или точкой ${\displaystyle \cdot }$ (ввёл Г. В. Лейбниц в 1698), в буквенных записях эти знаки обычно опускаются и вместо ${\displaystyle a\times b}$ или ${\displaystyle a\cdot b}$ пишут ${\displaystyle ab}$. Умножение имеет различный конкретный смысл и, соответственно, различные конкретные определения в зависимости от вида сомножителей и произведения.

Умножение натуральных чисел есть, по определению, операция, сопоставляющая числам ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ третье число ${\displaystyle c}$, равное сумме ${\displaystyle b}$ слагаемых, каждое из которых равно ${\displaystyle a}$, так что ${\displaystyle ab=a+a+...+a}$ (в сумме в правой части равенства ${\displaystyle b}$ слагаемых). Число ${\displaystyle a}$ называется множимым, ${\displaystyle b}$ – множителем.

Умножение рациональных чисел ${\displaystyle m \over n}$ и ${\displaystyle p \over q}$ определяется равенством ${\displaystyle {\frac {m}{n}}\cdot {\frac {p}{q}}={\frac {mp}{nq}}}$. Умножение рациональных чисел даёт число, абсолютная величина которого равна произведению абсолютных величин сомножителей, имеющему знак «плюс», если сомножители одного знака, и знак «минус», если сомножители разных знаков. Умножение иррациональных чисел определяется при помощи умножения их рациональных приближений. Умножение комплексных чисел, заданных в форме ${\displaystyle \alpha =a+bi}$, ${\displaystyle \beta =c+di}$, где ${\displaystyle i}$ – мнимая единица, определяется равенством ${\displaystyle \alpha \beta =ac-bd+(ad+bc)i}$. При умножении комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме

${\displaystyle \alpha =r_{1}(\cos \phi _{1}+i\sin \phi _{1}),}$
${\displaystyle \beta =r_{2}(\cos \phi _{2}+i\sin \phi _{2})}$,

их модули перемножаются, а аргументы складываются:

${\displaystyle \alpha \beta =r_{1}r_{2}(\cos(\phi _{1}+\phi _{2})+i\sin(\phi _{1}+\phi _{2}))}$.

Умножение чисел однозначно и обладает свойствами:

• ${\displaystyle ab=ba}$ (коммутативность, переместительный закон);
• ${\displaystyle a(bc)=(ab)c}$ (ассоциативность, сочетательный закон);
• ${\displaystyle a(b+c)=ab+ac}$ (дистрибутивность, распределительный закон).

При этом всегда ${\displaystyle a\cdot 0=0}$, ${\displaystyle a\cdot 1=a}$.

Дальнейшее обобщение понятия умножения связано с возможностью рассматривать числа как операторы в совокупности векторов на плоскости. Например, комплексному числу ${\displaystyle r(\cos \phi +i\sin \phi )}$ соответствует оператор растяжения всех векторов в ${\displaystyle r}$ раз и их поворота на угол ${\displaystyle \phi }$. При этом умножению комплексных чисел отвечает умножение соответствующих операторов, т. е. результатом умножения является оператор, получающийся последовательным применением двух данных операторов. Такое определение умножения операторов переносится и на другие виды операторов, которые уже нельзя выразить при помощи чисел (например, линейные преобразования). Это приводит, например, к операции умножения матриц, рассматриваемых как операторы растяжения и поворота в трёхмерном пространстве. При таких обобщениях могут не выполняться некоторые из перечисленных выше свойств умножения, чаще всего не выполняется свойство коммутативности. Изучение общих свойств операции умножения входит в задачи общей алгебры, в частности в теории групп и колец.