Ри́манова геоме́трия в це́лом, раздел римановой геометрии, изучающий связи между локальными и глобальными характеристиками римановых многообразий. Термин «риманова геометрия в целом» обычно относят к определённому кругу проблем и методов, характерных для геометрии в целом. Основное место в римановой геометрии в целом занимает изучение связи между кривизной и топологией римановых многообразий. При этом исследуются вопрос о топологическом и метрическом строении римановых многообразий с данными условиями на кривизну и вопрос о существовании на заданном гладком многообразии римановой метрики с предписанными свойствами кривизны (секционной кривизны $K_\sigma$, кривизны Риччи $\operatorname{Ric}$, скалярной кривизны $K_{\mathrm{cк}}$). Бо́льшая часть полученных результатов относится к пространствам с кривизнами постоянного знака. Риманова геометрия в целом тесно соприкасается с теорией однородных пространств и вариационной теорией геодезических линий. О подмногообразиях риманова многообразия см. в статьях Изометрическое погружение и Геометрия погруженных многообразий.

Методы римановой геометрии в целом носят синтетический характер. Наряду с локальной дифференциальной геометрией широко используются теория дифференциальных уравнений и теория Морса. Но основные достижения связаны с нахождением удачных конструкций, например построением замкнутых геодезических, минимальных плёнок или плёнок из геодезических, орисфер, выпуклых множеств. Исследованию топологии риманова многообразия обычно предшествует изучение её метрических свойств. Последнее часто осуществляется путём сравнения риманова многообразия с подходящим эталонным пространством (см. ниже теоремы сравнения).

Топологическое строение. Для замкнутых поверхностей связь между кривизной и топологией по существу исчерпывается формулой Гаусса – Бонне. Среди замкнутых поверхностей метрику положительной кривизны могут нести только сфера $S^2$ и проективная плоскость $P^2$, а нулевой кривизны – тор и бутылка Клейна. Строение риманова многообразия размерности $n>2$ известно хуже (1983). Вот примеры известных теорем.

Полное односвязное риманово многообразие $M^n$ с $K_\sigma \leqslant 0$ диффеоморфно $\mathbb{R}^n$ (теорема Адамара – Картана), причём для любой точки $x \in M^n$ экспоненциальное отображение $\exp_x$ есть диффеоморфизм касательного пространства $T_x M^n$ на ${M}^n$.

Для замкнутых римановых многообразий с $K_\sigma>0$ имеет место следующая теорема о сфере: полное риманово многообразие $M^n$ с $0<\delta \leqslant K_\sigma\leqslant 1$ называется $\delta$-защемлённым; если оно односвязно и $\delta>1 / 4$, то $M^n$ гомеоморфно $S^n$. Для чётных $n$ граница здесь точная: при $\delta=1 / 4$ существуют $M^n$, негомеоморфные $S^n$, это – симметрические пространства ранга 1 и только они. Для нечётных $n$ теорема о гомеоморфности $M^n$ и $S^n$ верна и при $\delta=1 / 4$. При $n<7$, $n \neq 4$ гомеоморфность сфере $S^n$ влечёт диффеоморфность. При $n \geqslant 7$ диффеоморфность сфере установлена при более жёстком, чем в теореме о сфере, защемлении (достаточно взять $\delta>0,87$, а при $n \rightarrow \infty$ взять $\delta>0,66$). Известно также, что при ещё более жёстком защемлении (достаточно $\delta>0,98$ и $\delta>0,66$ при $n \rightarrow \infty$) неодносвязное $M^n$ диффеоморфно пространству постоянной кривизны (факторпространству $S^n$ по дискретной подгруппе изометрий). Есть ряд результатов об условиях на $K_\sigma$, обеспечивающих гомеоморфизм симметрическому пространству ранга 1 (Cheeger. 1969; Min-Oo. 1979).

Открытое, т. е. полное некомпактное, риманово многообразие с $K_\sigma>0$ всегда диффеоморфно $\mathbb{R}^n$. Множество $X \subset M^n$ называется абсолютно выпуклым, если каждая геодезическая с концами в $X$ вся лежит в $X$. Пусть $M^n$ – открытое риманово многообразие с $K_\sigma \geqslant 0$, тогда в $M^n$ существует вполне геодезическое абсолютно выпуклое замкнутое подмногообразие $N$ такое, что $M^n$ диффеоморфно пространству $\nu(N)$ нормального расслоения $N$ в $M^n$ (если $K_\sigma>0$, то $\operatorname{dim} N=0$). В случаях $\operatorname{dim} N=1$ или $n-1$, а для однородных пространств – всегда, $M^n$ даже изометрично $\nu(N)$ со стандартной метрикой нормального расслоения. При $n \leqslant 3$ это даёт полную классификацию открытых римановых многообразий c $K_\sigma \geqslant 0$.

Прямой называется полная геодезическая, кратчайшая на любом своём участке. Теорема о цилиндре: открытое $M^n$ с $K_\sigma \geqslant 0$ изометрично прямому метрическому произведению $M^{n-k} \times \mathbb{R}^k$, $0 \leqslant k \leqslant n$, где $M^{n-k}$ не содержит прямых. Условие $K_\sigma \geqslant 0$ здесь можно заменить на $\operatorname{Ric}\geqslant 0$.

Фундаментальная группа. При $K_\sigma>0$ и чётном $n$ замкнутое $M^n$ либо ориентируемо и односвязно, либо неориентируемо и фундаментальная группа $\pi_1\left(M^n\right)=\mathbb{Z}_2$; при нечётном $n$ оно всегда ориентируемо, но о $\pi_1\left(M^n\right)$ за пределами теоремы о сфере мало что известно. Даже для $M^n$ постоянной кривизны $K_\sigma=1$ полное описание возможных строений $\pi_1\left(M^n\right)$ для нечётных $n$ оказалось трудной задачей (Вольф. 1982).

Если $K_\sigma=0$, то универсальное накрывающее $\tilde{M}^n$ пространства ${M}^n$ изометрично $\mathbb{R}^n$ и фундаментальная группа $\pi_1\left(M^n\right)$ изоморфна дискретной группе изометрий $\mathbb{R}^n$ без неподвижных точек; она содержит подгруппу сдвигов конечного индекса. (Тем самым $M^n$ допускает конечное изометрическое накрытие плоским тором.)

Если в $\tilde{M}^n$ все $K_\sigma \leqslant 0$, то $\tilde{M}^n$ диффеоморфно $\mathbb{R}^n$. Поэтому все гомотопические группы $\pi_i\left(M^n\right)$ для $i>1$ тривиальны, и гомотопический тип определяется $\pi_1\left(M^n\right)$. Если $K_\sigma<0$, то $\pi_1\left(M^n\right)$ полностью некоммутативна в том смысле, что любая абелева (и даже любая разрешимая) её подгруппа является бесконечной циклической. В случае $K_\sigma \leqslant 0$ известно следующее. Пусть $\Gamma$ – разрешимая подгруппа $\pi_1\left(M^n\right)$. Тогда $\Gamma$ изоморфна дискретной группе изометрий $\mathbb{R}^n$ (без неподвижных точек) и $M^n$ содержит компактное вполне геодезическое подмногообразие, изометричное $\mathbb{R}^n / \Gamma$. Вместо $K_\sigma \leqslant 0$ достаточно при этом потребовать отсутствия на геодезических сопряжённых точек.

Для двух многообразий одинаковой постоянной отрицательной кривизны и одинаковой размерности $n \geqslant 3$ изоморфизм $\pi_1$ влечёт изометрию (теорема Мостова).

Римановы многообразия, для которых $\max \left|K_\sigma\right| \times \operatorname{diam} M^n<\varepsilon$, называются $\varepsilon$-плоскими. Такие многообразия могут при произвольном $\varepsilon>0$ топологически отличаться от локально плоских. Для них при любом $n \geqslant 2$ существует такое $\varepsilon_n,$ что для $\varepsilon_n$-плоского $M^n$ в $\pi_1\left(M^n\right)$ есть нильпотентная подгруппа конечного индекса. При этом $M^n$ допускает конечное (с кратностью, зависящей лишь от $n$) накрытие, диффеоморфное факторпространству нильпотентной группы Ли по её дискретной подгруппе (Buser. 1981).

Полное риманово многообразие с кривизной $\operatorname{Ric}\geqslant a>0$ имеет конечный $\operatorname{diam} M^n \leqslant \pi / \sqrt{a}$ и потому конечную группу $\pi_1\left(M^n\right)$. Если для замкнутого $M^n \operatorname{Ric}\geqslant 0$, то существует такая конечная нормальная подгруппа $\Gamma \subset \pi_1\left(M^n\right),$ что \$pi_1 / \Gamma$ – дискретная группа изометрий $\mathbb{R}^k$, $0 \leqslant k \leqslant n$, причём $\tilde{M}^n$ разлагается в прямое метрическое произведение ${M}^* \times \mathbb{R}^k$, где $M^*$ замкнуто, разложение инвариантно относительно $\pi_1\left(M^n\right)$, а ${\Gamma}$ – тривиальна на $\mathbb{R}^k$.

Наряду с изучением $\pi_1\left(M^n\right)$ получены с помощью теории гармонических дифференциальных форм некоторые оценки для чисел Бетти $b_k$ для $\delta$-защемлённых $M^n$. Так, $b_2=0$ при $\delta>(n-3)(4 n-9)^{-1}$ и нечётном $n \geqslant 5$.

Теорема сравнения. Многие глобальные свойства римановых многообразий доказываются путём сравнения конструкций в изучаемом римановом многообразии с аналогичными конструкциями в эталонном пространстве. В качестве последнего берут многообразие постоянной кривизны, реже другое симметрическое пространство. Ниже $c$-плоскостью называем $\mathbb{R}^2$ при $c=0$, сферу $S_c^2$ радиуса $c^{-1 / 2}$ при $c>0$, плоскость Лобачевского кривизны $c$ при $c<0$.

Многочисленные применения имеет следующая теорема Топоногова сравнения углов. Пусть в римановом многообразии $M^n$все $K_\sigma \geqslant c$ и $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ – углы треугольника из кратчайших, а $\alpha_1^{\prime}, \alpha_2^{\prime}, \alpha_3^{\prime}$ – соответствующие углы треугольника с теми же длинами сторон на $c$-плоскости; тогда $\alpha_i \geqslant \alpha_i^{\prime}$. Если $K_\sigma \leqslant c$ и любые две точки сторон рассматриваемого в $M^n$ треугольника соединимы единственной кратчайшей, то $\alpha_i \leqslant \alpha_i^{\prime}$. Эта теорема эквивалентна следующему условию выпуклости: если в $M^n$ кратчайшие $a b, a c$ образуют тот же угол, что и кратчайшие $a^{\prime} b^{\prime}, a^{\prime} c^{\prime}$ тех же длин на $c$-плоскости, то $\rho_{M^n}(b, c) \leqslant \rho_c\left(b^{\prime}, c^{\prime}\right)$. Здесь по существу сравнивается быстрота расходимости кратчайших.

В теореме сравнения Рауха сравниваются скорости движения концов $b$ и $b^{\prime}$ кратчайших $a b, a^{\prime} b^{\prime}$ в двух римановых многообразиях $M^n$ и $M^{\prime n}$ при условии, что $a b$ и $a^{\prime} b^{\prime}$ поворачиваются вокруг своих начал $a, a^{\prime}$ с одинаковой скоростью в условиях, когда (при некотором естественном сопоставлении) секционные кривизны в $M^n$ не меньше, чем в $M^{\prime n}$. Тогда скорость движения $b$ не больше, чем скорость $b^{\prime}$. В основном случае (при сравнении с $c$-плоскостью) теорема Рауха равносильна инфинитезимальному варианту теоремы сравнения углов.

Имеются аналоги теоремы Рауха, в которых точки $a, a^{\prime}$ смещаются по гиперповерхностям, к которым ${a} b, {a}^{\prime}{b}^{\prime}$ остаются ортогональными. Есть также теоремы сравнения для объёмов трубчатых окрестностей подмногообразий (Heintze. 1978; Gray. 1982).

Экстремальные теоремы. Теоремы сравнения приводят к оценкам таких характеристик $M^n$, как диаметр, радиус инъективности, длина замкнутой геодезической, объём шара данного радиуса и т. п. Ответы на вопросы о случаях достижения равенства в таких оценках дают экстремальные теоремы.

Для $M^n$ с $K_\sigma \geqslant 1$ всегда $\operatorname{diam} M^n \leqslant \pi$. Равенство достигается только для единичной сферы. Если $M^n$ замкнуто и $0<K_\sigma \leqslant 1$ при чётном $n$ или $1 / 4<K_\sigma \leqslant 1$ при нечётном $n$, то радиус инъективности $r_{i n}\left(M^n\right) \geqslant \pi$ и длина замкнутой геодезической $\geqslant 2 \pi$. Если при этом в $M^n$ есть замкнутая геодезическая $\gamma$ длины $2 \pi$, то при чётном $n$ в $M^n$ существует вполне геодезическая поверхность, содержащая $\gamma$ и изометричная $S_1^n$, а при $1 / 4<K_\sigma \leqslant 1$, независимо от чётности $n$, $M^n$ изометрично $S_1^n$ (Топоногов. 1974). Объём шара $D$ радиуса $r<r_{i n}\left(M^n\right)$ в $M^n$ с $K_\sigma \leqslant c$ $\left(K_\sigma \geqslant c\right)$ не меньше (не больше), чем объём шара $D_c$ того же радиуса в пространстве постоянной кривизны $c$, с равенством, лишь если $D$ изометрично $D_c$.

Экстремальные теоремы не всегда связаны с оценками кривизны. Пусть, например, на замкнутой поверхности $F$ для любой точки множество точек, ей сопряжённых, состоит из единственной точки. Тогда $F$ изометрично cфepe.

Конечность топологических типов. Среди замкнутых римановых многообразий с равномерно ограниченными кривизнами и ограниченными снизу радиусами инъективности $\operatorname{Vol} M^n<C_1$, $r_{i n}>C_2>0$, $K_\sigma<C_3$ есть лишь конечное число попарно гомотопически неэквивалентных, а при замене $K_\sigma<C_3$ на $\left|K_\sigma\right|<C_3$ – лишь конечное число попарно негомеоморфных. В этом утверждении условие $r_{i n}>C_2>0$ можно заменить обеспечивающими его, но легче проверяемыми условиями $\operatorname{Vol} M^n \geqslant C_4>0$, $\operatorname{diam} M^n<C_5$ (Cheeger. 1969).

Для римановых многообразий со знакопостоянными $K_\sigma$ условия, обеспечивающие конечность их топологических типов, упрощаются. Например, для чётных $n$ и $K_\sigma>0$ достаточно условия $\max K_\sigma<C \min K_\sigma$.

При $n>3$ для $M^n$ с $-1 \leqslant K_\sigma<0$ справедлива оценка $\operatorname{Vol} M^n> C\left(1 +\operatorname{diam} M^n\right)$. Поэтому при $n \neq 3$ конечно число топологических типов замкнутых римановых многообразий, удовлетворяющих условиям $\operatorname{Vol} M^n<C_1$, $C_2<K_\sigma<0$. Но при $n=3$ существует бесконечная серия попарно негомеоморфных $M^3$, удовлетворяющих условиям (Thurston. 1979).

Метрики с заданной кривизной. Пусть $\chi$ – эйлерова характеристика замкнутой поверхности $M^2$. Чтобы гладкая функция $f$ на $M^n$ была кривизной некоторой римановой метрики на $M^2$, необходимо: $\max f>0$ при $\chi>0$, $\min f<0$ при $\chi<0$ и $f$ меняет знак или $f \equiv 0$ при $\chi=0$. Эти условия и достаточны. Условие$\int_{M^2} \omega=2 \pi \chi$ необходимо и достаточно, чтобы 2-форма $\omega$ была формой кривизны $\omega=\int K\, d S$ римановой метрики на $M^2$. Если $M^2$ – открытое подмногообразие замкнутого многообразия $N^2$, то любая гладкая $f$ на $M^2$ есть кривизна некоторой (быть может, неполной) римановой метрики на $M^2$. Необходимые и достаточные условия, при которых $f$ есть кривизна полной римановой метрики на некомпактной поверхности, выяснены (1983) лишь для конечносвязных поверхностей.

С ростом размерности число независимых компонент тензора кривизны растёт быстрее числа компонент метрического тензора. Условия, при которых данное поле тензора служит, хотя бы локально, полем тензора кривизны некоторой метрики, неизвестны. Но для скалярной кривизны при $n>2$ каждая гладкая функция $f$ на замкнутом $M^n$, для которой $\min f<0$, является скалярной кривизной некоторой римановой метрики на $M^n$ (Исследования по метрической теории поверхностей. 1980). Существуют многообразия, не допускающие метрики с положительной скалярной кривизной, например трёхмерный тор (Schoen. 1979).

Выпуклые функции. Существование на римановом многообразии $M^n$ скалярной функции $f$, выпуклой вдоль любой геодезической, налагает жёсткие ограничения на строение такого $M^n$. Например, если на $M^n$ есть выпуклая функция $f$, то $\operatorname{Vol} M^n=\infty$. Если $f$ строго выпукла и при любом c компактны множества $f^{-1}(c)$, то $M^n$ диффеоморфно $\mathbb{R}^n$.

В ряде случаев выпуклые функции удаётся построить. Например, при $K_\sigma \leqslant 0$ выпуклы функции $f_1(x)=\rho(x, p),$ $f_2(x)=\rho(x, p)^2$, $p \in M^n$. Если $K_\sigma \leqslant 0$ и $\gamma: M^n \rightarrow M^n$ – изометрия, то выпукла функция $\delta_\gamma(x)=\rho(x, \gamma x)$. При $K_0 \geqslant 0$ существуют выпуклые $f$ с компактными $f^{-1}(c)$; это связано с абсолютной выпуклостью (при $K_\sigma \geqslant 0$) дополнений к оришарам и с тем обстоятельством, что при $K_\sigma \geqslant 0$ выпуклость множества $U \subset M^n$ влечёт выпуклость множества $\{x \in U: \rho(x, \partial U) \geqslant t\}$.

Изучались и проблемы римановой геометрии в целом для римановых многообразий с дополнительными структурами, например для кэлеровых многообразий (Goldberg. 1962).