Экспоненциа́льное отображе́ние, отображение касательного пространства многообразия $M$ в $M$, определяемое заданной на $M$ связностью и являющееся далеко идущим обобщением обычной экспоненциальной функции, рассматриваемой как отображение прямой в себя.

1. Пусть $M$ – многообразие класса $C^\infty$ с аффинной связностью, $p$ – некоторая точка из $M$, $M_p$ – касательное пространство к многообразию $M$ в точке $p$ и $X$ – ненулевой вектор из $M_p$, $t \to \gamma_X(t)$ – геодезическая, проходящая через точку $p$ в направлении вектора $X$. Существует такая открытая окрестность $N_0$ точки 0 в $M_p$ и такая открытая окрестность $N_p$ точки $p$ в $M$, что отображение $X \to \gamma_X(1)$ является диффеоморфизмом $N_0$ на $N_p$. Это отображение называется экспоненциальным отображением в точке $p$ и обозначается $\rm Exp$. Окрестность $N_0$ называется нормальной, если:

1) отображение $\rm Exp$ диффеоморфно отображает $N_0$ на $N_p$;

2) если $X\in N_0$ и $0\leqslant t\leqslant1$, то $tX \in N_0$.

В этом случае $N_p$ – нормальная окрестность точки $p$ в многообразии $M$. Каждая точка $p \in M$ обладает выпуклой нормальной окрестностью $N_p$ точки $p :$ любые две точки такой окрестности можно соединить в точности одним геодезическим отрезком, содержащимся в $N_p$. Если $M$ – полное риманово многообразие, то $\rm Exp$ есть сюръективное отображение $M_p$ на $M$.

2. Пусть $G$ – группа Ли с единицей $e$ и $g$ – соответствующая алгебра Ли, состоящая из касательных векторов к $G$ в точке $e$. Для каждого вектора $X \in g$ существует единственный аналитический гомоморфизм $\theta$ группы $\mathbb R$ в $G$ такой, что касательный вектор к $\theta(\mathbb R)$ в точке $e$ совпадает с $X$. Отображение $X \to \operatorname{exp} X= \theta(1)$ и называется экспоненциальным отображением алгебры $g$ в группу $G$. Существует такая открытая окрестность $N_0$ точки $0$ в $g$ и такая открытая окрестность $N_e$ точки $e$ в $G$, что $\operatorname{exp}$ является аналитическим диффеоморфизмом окрестности $N_0$ на $N_e$. Пусть $X_1,\dots,X_n$ – некоторый базис алгебры $g$. Отображение $\operatorname{exp}(x_1X_1+\dots+x_nX_n) \to (x_1,\dots,x_n)$ есть система координат на $N_e$, эти координаты называются каноническими.

К понятию экспоненциального отображения для группы Ли $G$ можно подойти и с другой точки зрения. Существует взаимно однозначное соответствие между множеством всех аффинных связностей на $G$, инвариантных относительно группы левых сдвигов, и множеством билинейных функций $\alpha \colon g\times g\to g$. Оказывается, что экспоненциальные отображения $\rm exp$ алгебры $g$ в группу $G$ совпадают с отображением $\rm{Exp}$ касательного пространства $g$ к многообразию $G$ в точке $e$ в это многообразие относительно левоинвариантной аффинной связности, отвечающей любой кососимметричной билинейной функции $\alpha$.