Кривизна́ Ри́ччи риманова многообразия $M$ в точке $p \in M$, число, сопоставляемое каждому одномерному подпространству из касательного пространства $M _ {p}$ по формуле$$r (v) = \frac{(c R) (v , v) }{g (v , v) } ,$$где $c R$ – тензор Риччи, $v$ – вектор, порождающий одномерное подпространство, $g$ – метрический тензор риманова многообразия $M$. Кривизна Риччи выражается через секционные кривизны многообразия $M$. Пусть $K _ {p} (\alpha , \beta)$ – секционная кривизна в точке $p \in M$ в направлении площадки, определяемой векторами $\alpha$ и $\beta$, $l_{1},\dots, l_{n-1}$ – нормированные векторы, ортогональные друг другу и вектору $v$, $n$ – размерность $M$, тогда$$r (v) = \sum_{i=1}^{n-1} K _ {p} (v , l _ {i}) .$$Для многообразий $M$ размерности больше двух имеет место следующее предложение: если кривизна Риччи в точке $p \in M$ имеет одно и то же значение $r$ по всем направлениям $v$, то кривизна Риччи имеет одно и то же значение $r$ во всех точках многообразия. Многообразия с постоянной кривизной Риччи называются пространствами Эйнштейна. Тензор Риччи пространства Эйнштейна имеет вид $c R = r g$, где $r$ – кривизна Риччи. Для пространства Эйнштейна выполняется равенство$$n R _ {ij} R ^ {ij} -s ^ {2} = 0 ,$$где $R _ {ij}$, $R ^ {ij}$ – ковариантные и контравариантные координаты тензора Риччи, $n$ – размерность пространства, s – скалярная кривизна пространства.

Кривизна Риччи может быть определена и на псевдоримановых многообразиях с помощью аналогичных формул, в этом случае вектор предполагается неизотропным.

По кривизне Риччи однозначно восстанавливается тензор Риччи:$$(c R) (u , v) = \frac{1}{2} [r (u + v) g (u + v , u + v)-r (u) g (u , u)-r (v) g (v , v) ] .$$