Локальное свойство в коммутативной алгебре
Лока́льное сво́йство в коммутати́вной а́лгебре, свойство коммутативного кольца или -модуля , которое верно для кольца (модуля ) тогда и только тогда, когда аналогичное свойство выполняется для локализаций кольца (модуля ) относительно всех простых идеалов кольца , т. е. свойство, которое выполняется глобально тогда и только тогда, когда оно выполняется всюду локально. Часто вместо множества всех простых идеалов можно ограничиться рассмотрением всех максимальных идеалов кольца . Эта терминология становится понятной, если сопоставить кольцу топологическое пространство (спектр кольца ), состоящее из всех простых идеалов . Тогда утверждение « верно для » эквивалентно утверждению « выполняется на всём пространстве », а утверждение « верно для всех » эквивалентно утверждению «каждая точка пространства обладает окрестностью, в которой выполняется ».
Примеры локальных свойств. Область целостности целозамкнута в своём поле частных тогда и только тогда, когда целозамкнуты локализации для всех максимальных идеалов кольца . Гомоморфизм
-модулей является изоморфизмом (мономорфизмом, эпиморфизмом, нулевым) тогда и только тогда, когда отображение локализованных модулей является таковым для всех максимальных идеалов кольца .
Напротив, свойство -модуля быть свободным не является локальным.