Кольцо́ многочле́нов, кольцо, элементами которого являются многочлены с коэффициентами из некоторого фиксированного поля $k$. Рассматриваются также кольца многочленов над произвольным ассоциативно-коммутативным кольцом $R$, например над кольцом целых чисел. Кольцо многочленов от конечного множества переменных $x_1, x_2, \ldots, x_n$ над $R$ принято обозначать через $R\left[x_1, x_2, \ldots, x_n\right]$. Можно говорить и о кольце многочленов от любого бесконечного множества переменных, считая, что каждый отдельный многочлен зависит лишь от некоторого конечного числа переменных. Кольцо многочленов над кольцом $R$ является (коммутативной) свободной алгеброй с единицей над $R$; множество переменных служит системой свободных образующих этой алгебры.

Кольцо многочленов над произвольной областью целостности само является областью целостности. Кольцо многочленов от любого конечного числа переменных над любым факториальным кольцом $R$ само является факториальным.

Для кольца многочленов над полем $k$ от конечного числа переменных имеет место теорема Гильберта о базисе: всякий идеал в $k\left[x_1, \ldots, x_n\right]$ может быть порождён (как идеал) конечным числом элементов. Кольцо многочленов от одного переменного $k[x]$ является кольцом главных идеалов, т. е. любой его идеал может быть порождён одним элементом. Более того, $k[x]$ является евклидовым кольцом. Это свойство $k[x]$ даёт возможность исчерпывающим образом описать конечно порождённые модули над ним и, в частности, привести к каноническому виду линейный оператор в конечномерном векторном пространстве (см. в статье Жорданова матрица). При $n>1$ кольцо $k\left[x_1, \ldots, x_n\right]$ не является кольцом главных идеалов.

Пусть $S$ – некоторая ассоциативно-коммутативная $k$ алгебра с единицей, $a=\left(a_1, a_2, \ldots, a_n\right)$ – элемент декартовой степени $S^n$, тогда существует единственный гомоморфизм кольца многочленов от $n$ переменных в $S$$$\varphi_a: k\left[x_1, x_2, \ldots, x_n\right] \longrightarrow S,$$при котором $\varphi_a\left(x_i\right)=a_i$ для всех $i=1, \ldots, n$, а $\varphi_a(1)$ – единица $S$. Образ многочлена $f \in k\left[x_1, \ldots, x_n\right]$ при этом гомоморфизме называется его значением в точке $a$. Точка $a \in S^n$ называется нулём системы многочленов $F \subset k\left[x_1, \ldots, x_n\right]$, если значение каждого многочлена из $F$ в этой точке есть $0 \in S$. Для кольца многочленов имеет место теорема Гильберта о нулях: пусть $\mathfrak{A}$ – идеал кольца $R=k\left[x_1, \ldots, x_n\right]$, $M$ – множество нулей идеала $\mathfrak{A}$ в $\bar{k}^n$, где $\vec{k}$ – алгебраическое замыкание поля $k$, $g$ – многочлен из $R$, обращающийся в нуль во всех точках из $M$, тогда существует натуральное число $m$ такое, что $g^m \in \mathfrak{A}$.

Пусть $A$ – произвольный модуль над кольцом $R=k\left[x_1, \ldots, x_n\right]$. Тогда существуют свободные $R$-модули $X_0, X_1, \ldots, X_n$ такие, что последовательность гомоморфизмов$$\{0\} \leftarrow A \leftarrow X_0 \leftarrow X_1 \leftarrow \ldots \leftarrow X_n \leftarrow\{0\}$$точна, то есть ядро предыдущего гомоморфизма является образом последующего. Это утверждение – одна из возможных формулировок теоремы Гильберта о сизигиях для кольца многочленов.

Конечно порождённый проективный модуль над кольцом многочленов от конечного числа переменных с коэффициентами из кольца главных идеалов свободен (Cyслин. 1976; Quillen. 1976); это есть решение проблемы Сеppa.

Лишь в некоторых частных случаях имеются ответы на следующие вопросы: 1) не порождается ли группа автоморфизмов кольца многочленов элементарными автоморфизмами; 2) не порождается ли $k\left[x_1, \ldots, x_n\right]$ произвольным множеством $f_1, \ldots, f_n$ таким, что $\operatorname{det}\left\|\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right\|$ – ненулевая константа; 3) если $S \otimes k[y]$ изоморфно $k\left[x_1, \ldots, x_n\right]$, не будет ли $S$ изоморфно $k\left[x_1, \ldots, x_{n-1}\right]$?