Превосхо́дное кольцо́, коммутативное нётерово кольцо, удовлетворяющее трём приводимым ниже аксиомам. Известно, что геометрические кольца обладают рядом качественных свойств, не присущих произвольным нётеровым кольцам. Понятие превосходного кольца позволяет в аксиоматической форме учесть важнейшие из этих свойств.

Аксиомы превосходного кольца $A$.

A1. Кольцо $A$ универсально цепное. (Кольцо $A$ называется цепным, если для любых двух его простых идеалов $\mathfrak p\ne\mathfrak p'$ длины любых неуплотняемых цепочек простых идеалов $\mathfrak p = \mathfrak p_0\subset\mathfrak p_1\subset\dots\subset\mathfrak p_n=\mathfrak p'$ совпадают. Кольцо $A$ называется универсально цепным, если цепным является любое кольцо многочленов $A[T_1,\dots,T_k]$.)

A2. Формальные слои кольца $A$ являются геометрически регулярными, т. е. для любого простого идеала $\mathfrak p\subset A$ и гомоморфизма из $A$ в поле $K$ кольцо $\hat A_{\mathfrak p}\bigotimes_A K$ регулярно. Здесь $\hat A_{\mathfrak p}$ – пополнение локального кольца $A_{\mathfrak p}$.

A3. Для любой целостной конечной $A$-алгебры $B$ найдётся ненулевой элемент $b\in B$ такой, что кольцо частных $B[b^{-1}]$ регулярно.

Превосходные кольца обладают следующими свойствами:

• для превосходного кольца $A$ множество регулярных (соответственно нормальных) точек схемы ${\rm Spec}\,A$ открыто;

• если превосходное локальное кольцо $A$ приведённое (соответственно нормальное, равноразмерное), то таким же будет пополнение $A$;

• целое замыкание превосходного кольца $A$ в конечном расширении поля частных кольца $A$ является конечной $A$-алгеброй;

• если кольцо $A$ превосходное, то любая $A$-алгебра конечного типа – также превосходное кольцо.

Два важнейших примера превосходных колец – полные локальные кольца (или аналитические кольца) и дедекиндовы кольца с полем частных нулевой характеристики. Таким образом, класс превосходных колец достаточно широк и, в частности, содержит все алгебры конечного типа над полем или над кольцом целых чисел $\mathbb Z$.

Превосходность кольца $A$ тесно связана с возможностью разрешения особенностей схемы ${\rm Spec}\,A$ (Grothendieck. 1965; Хиронака. 1965).