Локализа́ция в коммутати́вной а́лгебре, переход от коммутативного кольца $A$ к кольцу частных $A\left[S^{-1}\right]$, где $S$ – некоторое подмножество $A$. Кольцо $A\left[S^{-1}\right]$ можно определить как решение задачи об универсальном отображении $A$ в кольцо, при котором все элементы множества $S$ становятся обратимыми. Имеются, однако, и явные конструкции $A\left[S^{-1}\right]$:

1) как множества дробей вида $a / s$, где $a \in A$, а $s$ является произведением элементов из $S$ [при этом две дроби $a / s$ и $a^{\prime} / s^{\prime}$ считаются эквивалентными тогда и только тогда, когда найдётся $s^{\prime \prime}$, являющийся произведением элементов из $S$ и такой, что $s^{\prime \prime}\left(s a^{\prime}-s^{\prime} a\right)=0$; складываются и умножаются дроби по обычным правилам];

2) как факторкольцо кольца многочленов $A\left[X_s\right]$, $s \in S$, по идеалу, порождённому многочленами $s X_s-1$, $s \in S$;

3) как индуктивный предел индуктивной системы $A$-модулей $\left(A_i, \varphi_{i j}\right)$, где $i$ пробегает естественно упорядоченный свободный коммутативный моноид $N^{(S)}$. При этом все $A_i$ изоморфны $A$, а гомоморфизмы $\varphi_{i j}: A_i \rightarrow A_j$ при $j=i+n_1 s_1+\ldots+n_k s_k$ совпадают с умножением на $s_1^{n_1} \cdot \ldots \cdot s_k^{n_k} \in A$.

Кольцо $A$ канонически отображается в $A\left[S^{-1}\right]$ и превращает последнее кольцо в $A$-алгебру. Это отображение $A \rightarrow A\left[S^{-1}\right]$ инъективно тогда и только тогда, когда $S$ не содержит ни одного делителя нуля в $A$. Напротив, если $S$ содержит нильпотентный элемент, то $A[S-1]=0$.

Без потери общности множество $S$ можно считать замкнутым относительно произведения (такое множество называется мультипликативным, или мультипликативной системой). В этом случае кольцо $A\left[S^{-1}\right]$ обозначается также $S^{-1} A$ или $A_S$. Важнейшие примеры мультипликативных систем:

a) множество $\left\{s^n\right\}$ всех степеней элементов $s \in A$;

б) множество $A \backslash \mathfrak{P}$, т. е. дополнение к простому идеалу $\mathfrak{P}$. Соответствующее кольцо частных является локальным и обозначается $A_\mathfrak{P}$;

в) множество $R$ всех не делителей нуля в $A$.

Кольцо $R^{-1} A$ называется полным кольцом частных кольца $A$. Если $A$ целостно, $R^{-1} A=A_{(0)}$ является полем частных.

Операция локализации без труда переносится на произвольные $A$-модули $M$, если положить$$M\left[S^{-1}\right]=M \otimes_A A\left[S^{-1}\right].$$Переход от $M$ к $M\left[S^{-1}\right]$ является точным функтором. Иначе говоря, $A$-модуль $A\left[S^{-1}\right]$ является плоским. Локализация коммутирует с прямыми суммами и индуктивными пределами.

С геометрической точки зрения локализация означает переход к открытому подмножеству. Точнее, для $s \in A$ спектр $\operatorname{Spec}A\left[s^{-1}\right]$ канонически отожествляется с открытым (в топологии Зариского) подмножеством $D(s) \subset \operatorname{Spec} A$, состоящим из простых идеалов $\mathfrak{B}$, не содержащих $s$. Более того, эта операция позволяет связать с каждым $A$-модулем $M$ квазикогерентный пучок $\tilde{M}$ на аффинной схеме $\operatorname{Spec}A$, для которого$$\Gamma(D(s), \tilde{M})=M\left[s^{-1}\right].$$На локализацию можно смотреть как на операцию, позволяющую обратить морфизмы умножения на $s \in S$ в категории $A$-модулей. При таком подходе операция локализации допускает широкое обобщение на произвольные категории (см. в статье Локализация в категориях).