Факторкольцо́ кольца $R$ по идеалу $I$, факторгруппа аддитивной группы кольца $R$ по подгруппе $I$ с умножением

$$(a+I)(b+I)=a b+I.$$Факторкольцо оказывается кольцом и обозначается $R / I$. Отображение $\pi: R \rightarrow R / I$, где $\pi(x)=x+I$, является сюръективным кольцевым гомоморфизмом, который называется естественным (см. Алгебраическая система).

Важнейший пример факторкольца: кольцо вычетов по модулю $n$ – факторкольцо кольца целых чисел $\mathbb{Z}$ по идеалу $\mathbb{Z} n$. Элементами кольца $\mathbb{Z} / \mathbb{Z} n$ можно считать числа $\{0,1, \ldots, n-1\}$, где сумма и произведение определяются как остатки от деления обычных суммы и произведения на $n$. Между идеалами факторкольца $R / I$ и идеалами кольца $R$, содержащими $I$, может быть установлено взаимно-однозначное соответствие, сохраняющее порядок. В частности, факторкольцо $R / I$ просто тогда и только тогда, когда $I$ – максимальный идеал.