Гру́ппа гомоло́гий топологического пространства, группа, которая ставится в соответствие топологическому пространству с целью алгебраического исследования его топологических свойств; это соответствие должно удовлетворять определённым условиям, важнейшими из которых являются аксиомы Стинрода – Эйленберга (см. также статью Теория гомологии). Первоначально группы гомологий были построены исходя из идей А. Пуанкаре (1895) для полиэдров на основе их триангуляции – представления в виде симплициального комплекса (см. статью Гомологии полиэдра). Впоследствии для обобщения понятия гомологии и расширения области её применения были созданы несколько теорий гомологии произвольных пространств, в которых понятие комплекса всегда используется, но в более сложной ситуации, чем в случае триангуляции. Из этих теорий две являются основными: сингулярная и спектральная. Первая строится исходя из отображений полиэдров в данные пространства и преимущественно приложима к вопросам, в которых полиэдры отображаются в произвольные пространства, а вторая основана на отображении любых пространств в полиэдры и особенно полезна в приложениях, в которых встречаются такие отображения.

Идея сингулярных гомологий восходит к О. Веблену (1921), который в основу определения гомологии пространства положил системы, состоящие из полиэдров, их непрерывных отображений в данное пространство и их гомологий. Эта идея породила две теории. Непосредственное её развитие привело к группе непрерывных классов гомологии. Более удобной, из-за того что группы гомологий определяются из групп цепей, оказалась собственно сингулярная группа гомологий, определённая С. Лефшецем (1933) и сводящаяся к отображениям ориентированных симплексов в данное пространство; дальнейшее развитие этой теории привело к рассмотрению упорядоченных симплексов вместо ориентированных и к кубическим гомологиям вместо симплексов, использующих кубы. Все указанные разновидности сингулярных групп гомологий изоморфны между собой при очень общих условиях.

Спектральные гомологии, основанные на гомологиях нервов покрытий пространства, связанных в спектр естественными симплициальными отображениями нервов, введены П. С. Александровым (1925–1928), рассматривавшим сначала компактные метрические пространства и последовательности нервов конечных покрытий. Эта теория была распространена на произвольные пространства при помощи произвольных систем нервов открытых покрытий Э. Чехом (1932), который также опирался на конечные покрытия, что в случае некомпактных пространств не всегда пригодно. Поэтому с середины 1940-х гг. стали пользоваться бесконечными покрытиями. Введённая группа гомологий называется группой Александрова – Чеха (см. в статье Гомологии и когомологии Александрова – Чеха). Другое определение группы гомологий для компактных метрических пространств, основанное на предельных процессах, дано Л. Вьеторисом (1927) (см. статью Гомологии Bьеториса). Для произвольных пространств определение группы гомологий Вьеториса опирается на рассмотрение вложенных друг в друга комплексов покрытий (т. н. вьеторисианов), симплексами которых являются конечные системы точек пространства, принадлежащие одному и тому же элементу покрытия. В 1935 г. А. Н. Колмогоровым и Дж. Александеpoм независимо друг от друга было дано построение групп когомологии, основанное на коцепях, являющихся функциями упорядоченных совокупностей точек пространства. А. Н. Колмогоровым было дано и построение группы гомологий, основанное на функциях множеств и двойственное предыдущему; эта группа гомологий при любой группе коэффициентов изоморфна группе гомологий Стинрода (см. статью Двойственность Cтинрода), а при компактной группе коэффициентов – группе гомологий Александрова – Чеха. Группа гомологий Александрова – Чеха и группа гомологий Вьеториса изоморфны. Группа гомологий Вьеториса и группа когомологий Александера – Колмогорова, являясь обратным и прямым пределами соответственно двойственных спектров, заданных на одном и том же спектре вьеторисианов, двойственны одна другой. Смотря по тому, какие берутся группы гомологий на нервах и вьеторисианах при построении соответствующих спектральных групп гомологий, получают две их разновидности – проекционную и спектровую. В проекционном случае за указанные группы берутся группы гомологий цепного комплекса, являющегося пределом цепных комплексов конечных подкомплексов нервов и, соответственно, вьеторисианов, в спектровом случае – пределы группы гомологий указанных подкомплексов; в случае дискретной группы коэффициентов эти группы изоморфны; для групп когомологии – двойственно.

Сингулярная и спектральная теории изоморфны в случае паракомпактных, хаусдорфовых, гомологически локально связных пространств; последнее означает, что для данной окрестности каждой точки найдётся меньшая окрестность, образ сингулярной группы гомологий которой в группе гомологий данной окрестности при гомоморфизме вложения тривиален (для целочисленных групп гомологий всех размерностей; в случае размерности $0$ имеются в виду приведённые группы); иначе говоря, это означает, что каждая точка жёстко вложена в пространство. Такими являются, например, локально стягиваемые пространства, в частности полиэдры.

Свойства, отличающие эти теории друг от друга, следующие. Сингулярная (но не спектральная) теория обладает свойством точности гомологической последовательности и является гомологией с компактными носителями. Спектральная теория гомологии точна в случае, когда она задана на категории компактных пар пространств и когда группа коэффициентов компактна. Она и была разработана впервые именно в этом случае. Спектральная (но не сингулярная) теория обладает свойством непрерывности, т. е. если данная компактная пара является обратным пределом спектра некоторых компактных пар, то группа гомологий данной пары есть предел спектра группы гомологий этих пар, и свойством жёсткости, т. е. группа гомологий подпространства – предел спектра группы гомологий его окрестностей. Эти теории отличаются также по свойствам вырезания. Сингулярная теория является единственной гомологической теорией с данной группой коэффициентов на категории $C W$-комплексов со свойством аддитивности, состоящим в том, что группа гомологий топологической суммы пространств есть прямая сумма групп гомологий слагаемых. Спектральная теория – единственная частично точная теория гомологии на категории компактных пар со свойством непрерывности.

Из многочисленных других групп гомологий и групп когомологий и их обобщений следует указать на экстраординарные теории групп гомологий, которые строятся методами гомологической алгебры, группы гомологий и когомологий с коэффициентами в пучках, гомологии с локальными коэффициентами, группы гомологий спектрального типа, обладающие точной гомологической последовательностью, группы гомологий по модулю различных особых подпространств.