Подгру́ппа, подмножество $H$ группы $G$, само являющееся группой относительно операции, определяющей $G$. Подмножество $H$ группы $G$ является её подгруппой тогда и только тогда, когда: (1) $H$ содержит произведение любых двух элементов из $H$, (2) $H$ содержит вместе со всяким своим элементом $h$ обратный к нему элемент $h^{-1}$. В случае конечных и, вообще, периодических групп проверка условия (2) является излишней.

Подмножество группы $G$, состоящее из одного элемента $1$, будет, очевидно, подгруппой, и эта подгруппа называется единичной подгруппой группы $G$ и обозначается обычно символом $E$. Сама $G$ также является своей подгруппой. Всякая подгруппа, отличная от всей группы, называется истинной подгруппой этой группы. Истинная подгруппа некоторой бесконечной группы может быть изоморфна самой группе. Сама группа $G$ и подгруппа $E$ называются несобственными подгруппами группы $G$, все остальные – собственными.

Теоретико-множественное пересечение любых двух (и любого множества) подгрупп группы $G$ является подгруппой группы $G$. Пересечение всех подгрупп группы $G$, содержащих все элементы некоторого непустого множества $M$, называется подгруппой, порождённой множеством $M$, и обозначается символом $\{M\}$. Если $M$ состоит из одного элемента $a$, то $\{a\}$ называется циклической подгруппой элемента $a$. Группа, совпадающая с одной из своих циклических подгрупп, называется циклической группой.

Теоретико-множественное объединение подгрупп, вообще говоря, не обязано являться подгруппой. Объединением подгрупп $H_i$, $i \in I$, называется подгруппа, порождённая объединением множеств $H_i$.

Произведение подмножеств $S_1$ и $S_2$ группы $G$ есть множество, состоящее из всевозможных (различных) произведений $s_1 s_2$, где $s_1 \subset S_2$, $s_2 \in S_2$. Произведение подгрупп $\mathrm{H}_1 \mathrm{H}_2$ есть подгруппа тогда и только тогда, когда $H_1 H_2=H_2 H_1$, и в этом случае произведение $H_1 H_2$ совпадает с объединением подгрупп $H_1$ и $H_2$.

Гомоморфный образ подгруппы – подгруппа. Если группа $G_1$ изоморфна некоторой подгруппе $H$ группы $G$, то говорят, что группа $G_1$ может быть вложена в группу $G$. Если даны две группы и каждая из них изоморфна некоторой истинной подгруппе другой, то отсюда ещё не следует изоморфизм самих этих групп.