Ли́нии второ́го поря́дка, плоские линии, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют алгебраическому уравнению 2-го порядка с действительными коэффициентами

$a_{11}x^2+2a_{12}xy + a_{22}y^2+2a_{13}x + +2a_{23}y + a_{3}3=0,$где хотя бы одно из чисел $a_{11}$, $a_{12}$ и $a_{22}$ не равно нулю.

Это уравнение может и не определять действительного геометрического образа, но для сохранения общности в таких случаях говорят, что оно определяет мнимую линию 2-го порядка. Уравнение линий 2-го порядка может быть преобразовано с помощью параллельного переноса начала и поворота системы координат на некоторый угол к одному из 9 (в зависимости от значений коэффициентов) приведённых ниже канонических видов, каждому из которых соответствует определённый класс линий 2-го порядка. Выделяются следующие нераспадающиеся линии: эллипсы

$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2}=1,$гиперболы

$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1,$параболы $y^2=2px$, мнимые эллипсы

$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2}=-1,$а также распадающиеся линии: пары пересекающихся прямых

$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 0,$пары мнимых пересекающихся прямых

$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2}=0,$пары параллельных прямых $x^2-а^2=0$, пары мнимых параллельных прямых $x^2+а^2= 0$, пара совпадающих параллельных прямых $x^2=0$; здесь $a$, $b$ и $p$ – действительные числа, не равные нулю.

Исследование линий 2-го порядка может быть проведено без приведения общего уравнения к каноническому виду. Для этого вводятся т. н. инварианты линий 2-го порядка – выражения, составленные из коэффициентов общего уравнения линий 2-го порядка, значения которых не меняются при параллельном переносе и повороте системы координат (ниже $a_{ij}=a_{ji}$),

$\Delta = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}, \;\delta =\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix},\; S=a_{11} + a_{22}.$Например, эллипсы, как нераспадающиеся линии, характеризуются тем, что для них $Δ ≠ 0$; положительное значение инварианта $δ$ выделяет эллипсы среди других типов нераспадающихся линий (для гипербол $δ<0$, для парабол $δ=0$). Различить случаи действительного или мнимого эллипса позволяет сопоставление знаков инвариантов $Δ$ и $S$: если $Δ$ и $S$ разных знаков, то эллипс действительный, если $Δ$ и $S$ одного знака, то эллипс мнимый.

Три основных инварианта $Δ$, $δ$ и $S$ определяют линии 2-го порядка (кроме случая параллельных прямых) с точностью до движения евклидовой плоскости: если соответствующие инварианты $\Delta$, $δ$ и $S$ двух линий совпадают, то такие линии могут быть совмещены движением. Иными словами, эти линии эквивалентны по отношению к группе движений плоскости.

Существуют классификации линий 2-го порядка с использованием других групп преобразований. Так, относительно более общей, чем группа движений, группы аффинных преобразований эквивалентными являются любые две линии, определяемые уравнениями одного канонического вида. Например, две подобные линии 2-го порядка являются эквивалентными. Связи между различными аффинными классами линий 2-го порядка позволяет установить классификация с использованием проективной геометрии.

Кроме аналитического способа определения линий 2-го порядка (с помощью уравнения), существуют и другие способы. Например, эллипс, гипербола и парабола могут быть получены как сечения конуса плоскостью – конические сечения.