Функциона́льное уравне́ние, уравнение, в котором неизвестным является элемент какого-либо банахова пространства $X$, конкретного (функционального) или абстрактного, т. е. уравнение вида $$P(x)=y,\tag{*}$$где $P(x)$– некоторый, вообще говоря, нелинейный оператор, переводящий элементы банахова пространства $X$ в элементы банахова пространства $Y$. Если функциональное уравнение содержит ещё и числовой (или общий функциональный) параметр $λ$, то вместо $(*)$ пишут $P(x; λ)=y$, где $x∈X$, $y∈Y$, $λ∈Λ$, $Λ$ – пространство параметров.

Уравнениями вида $(*)$ являются конкретные или абстрактные дифференциальные уравнения обыкновенные и с частными производными, интегральные уравнения, интегро-дифференциальные уравнения и более сложные уравнения математического анализа, а также системы алгебраических уравнений конечные и бесконечные, уравнения в конечных разностях и др.

Если решения функциональных уравнений являются элементами пространства операторов, то такие функциональные уравнения называются операторными уравнениями.

Под функциональными уравнениями в узком смысле понимают уравнения, в которых искомые функции связаны с известными функциями одного или нескольких переменных при помощи операции образования сложной функции (композиции функций). Системы функциональных уравнений в некоторых случаях удобно записываются в краткой записи в виде векторного или матричного функционального уравнения.

Одни из простейших функциональных уравнений – уравнения Коши$$f(x+y)=f(x)+f(y),\\ f(x+y)=f(x)f(y),\\ f(xy)=f(x)f(y),$$ непрерывные решения которых имеют, соответственно, вид$$f(x)=Cx, f(x)=e^{Cx},\quad f(x)=x^C.$$Решения функциональных уравнений в узком смысле и систем таких уравнений могут быть как конкретными функциями, так и классами функций, зависящими от произвольных параметров или произвольных функций.

Точные решения в виде аналитических выражений получаются лишь для немногих типов функциональных уравнений, поэтому особое значение имеют приближённые методы решения. Для нахождения решения общих функциональных уравнений вида $(*)$ развит ряд общих методов, например метод бесконечных степенных рядов и метод последовательных приближений. Существуют специальные методы решения конкретных функциональных уравнений, в том числе численные методы, например метод сеток.