Симметри́чная ма́трица, квадратная матрица, в которой элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны между собой. Другое определение: матрица $A$ называется симметричной, если $A = A^{\mathsf{T}}$, где $A^{\mathsf{T}}$ – транспонированная матрица. Частным случаем симметричной матрицы является диагональная матрица.

Симметричные матрицы с вещественными элементами обладают следующими свойствами.

1. Линейная комбинация симметричных матриц есть симметричная матрица.

2. Если симметричная матрица имеет обратную матрицу, то она симметричная.

3. Если $A$ – произвольная квадратная матрица, то матрицы $A + A^{\mathsf T}$, $AA^{\mathsf T}$, $A^{\mathsf T}A$ являются симметричными.

4. Произведение двух симметричных матриц $A$ и $B$ является симметричной матрицей тогда и только тогда, когда матрицы $A$ и $B$ перестановочны $(AB = BA)$.

5. Все собственные значения симметричной матрицы вещественны.

6. Собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям симметричной матрицы, ортогональны.

7. Если $A$ – симметричная матрица порядка $n$, то в пространстве ${\mathbb R}^n$ существует базис из собственных векторов матрицы $A$.

8. Симметричная матрица $A$ диагонализуема, т. е. матрица $P^{–1}AP$ является диагональной. Столбцами ортогональной матрицы $P$ служат нормированные собственные векторы матрицы $A$.

Понятие симметричной матрицы используется в определении квадратичной формы.