Лине́йное преобразова́ние векторного пространства, линейное отображение векторного пространства $L$ в себя, т. е. отображение $\mathcal{A} : L→L$, при котором каждому вектору $x∈L$ сопоставляется некоторый вектор $\mathcal{A} x∈L$, его образ, и при этом$$\mathcal{A} (x+y)= \mathcal{A} x+ \mathcal{A} y,$$$$\mathcal{A} (αx)=α \mathcal{A} x$$для любых векторов $x$, $y∈L$ и любого $α$ из поля $k$, над которым рассматривается векторное пространство $L$. Линейное преобразование векторного пространства $L$ называется также линейным оператором из $L$ в $L$, а также эндоморфизмом пространства $L$. Если $\mathcal{A}$ и $\mathcal{B}$ – линейные преобразования пространства $L$, то $\mathcal{A} + \mathcal{B}$, $\mathcal{A} \mathcal{B}$ и $α \mathcal{A}$ для любого $α∈k$ также являются линейными преобразованиями пространства $L$.

Примерами линейного преобразования являются: тождественное преобразование, оставляющее все векторы пространства $L$ без изменения; нулевое линейное преобразование, сопоставляющее каждому вектору из $L$ нулевой вектор; поворот плоскости на некоторый угол; дифференцирование в пространстве многочленов степени не выше некоторого числа $m$.

Линейному преобразованию $\mathcal{A}$ соответствует матрица $A$ этого линейного преобразования, такая, что $Ax= \mathcal{A} x$ для всех $x∈L$. Пусть в пространстве $L$ задан базис $e_1,...,e_n$. Матрицей линейного преобразования $\mathcal{A}$ в этом базисе является матрица $A$, $j$-й столбец которой состоит из координат вектора $Ae_j$ в базисе $e_1,...,e_n$. Тождественное линейное преобразование имеет в любом базисе единичную матрицу, нулевое линейное преобразование – нулевую матрицу; матрица дифференцирования в пространстве многочленов степени не выше $m$ в базисе $1, x,...,x^m$ имеет вид

$$\begin{Vmatrix} 0 & 1 & 0 & ... & 0\\ 0 & 0 & 2 & ... & 0\\ & & & ... & \\ 0 & 0 & 0 & ... & m \\ 0 & 0 & 0 & ... & 0 \end{Vmatrix}.$$При переходе к другому базису матрица $A$ линейного преобразования $\mathcal{A}$ заменяется подобной матрицей $S^{-1}AS$, где $S$ – матрица перехода от базиса $e_1,...,e_n$ к базису $e'_1,...,e'_n$. Поэтому определитель $det A$ матрицы линейного преобразования $A$ не зависит от выбора базиса; он называется определителем линейного преобразования $\mathcal{A}$.

Линейное преобразование $\mathcal{A}$ называется невырожденным (или автоморфизмом), если $\text{det}\: A≠0$, и вырожденным в противном случае. Линейное преобразование $\mathcal{A}$ является невырожденным тогда и только тогда, когда ранг матрицы $A$ равен размерности пространства $L$.

Подпространство $L^′$ пространства $L$ называется инвариантным подпространством линейного преобразования $\mathcal{A}$, если для каждого вектора $x∈L^′$ его образ $\mathcal{A} x$ также принадлежит $L^′$. Ненулевой вектор $x∈L$ называется собственным вектором линейного преобразования $\mathcal{A}$, если существует такой элемент $λ∈ k$, что

$$\mathcal{A} x=λx.$$Элемент $λ$ , для которого выполняется это равенство, называется собственным значением линейного преобразования, а о собственном векторе $x$ говорят, что он принадлежит собственному значению $λ$. Каждый собственный вектор $x$ линейного преобразования $\mathcal{A}$ порождает одномерное инвариантное подпространство $\left \{αx:α∈k\right \}$ линейного преобразования $\mathcal{A}$ . Элемент $λ$ из поля $k$ является собственным значением линейного преобразования $\mathcal{A}$ тогда и только тогда, когда $λ$ является корнем характеристического многочлена $p(λ)=\text{det}(A-λE)$ матрицы $A$, где $A$ – матрица линейного преобразования $\mathcal{A}$ в некотором базисе, $E$ – единичная матрица. Многочлен $p(λ)$ не зависит от выбора базиса и называется также характеристическим многочленом линейного преобразования $\mathcal{A}$.

Матрица линейного преобразования $\mathcal{A}$ имеет в данном базисе диагональный вид тогда и только тогда, когда базис состоит из собственных векторов; при этом на диагонали матрицы стоят собственные значения, каждое из которых встречается столько раз, какова кратность этого собственного значения как корня характеристического многочлена. Базис из собственных векторов существует, в частности, в том случае, когда характеристический многочлен имеет $n$ различных корней в поле $k$, где $n$ – размерность пространства $L$. Если характеристический многочлен имеет кратный корень, то матрицу линейного преобразования, вообще говоря, нельзя привести к диагональному виду. В этом случае рассматривается т. н. жорданова нормальная форма матрицы.