Простра́нство непреры́вных фу́нкций, нормированное пространство $C(X)$ ограниченных непрерывных на топологическом пространстве $X$ функций $f\colon X\to\mathbb C$ с нормой $\|f\|=\sup\limits_{x\in X} |f(x)|$. Сходимость последовательности $f_n$ в пространстве $C(X)$ означает равномерную сходимость. Пространство $C(X)$ является коммутативной банаховой алгеброй с единицей. Если $X$ – бикомпакт, то всякая непрерывная на нём функция $f\colon X\to\mathbb C$ ограничена и, следовательно, пространство $C(X)$ совпадает с пространством всех непрерывных на $X$ функций.

В случае, когда $X=[a, b]$ – отрезок действительных чисел, пространство $C(X)$ обозначается $C[a, b]$. Множество всех целых неотрицательных степеней $1, x, x^2,\ldots, x^n,\ldots$ образует согласно теореме Вейерштрасса о приближении непрерывных функций многочленами полную систему в пространстве $C[a, b]$ (это означает, что множество линейных комбинаций указанных степеней, т. е. многочлены, образует в $C[a, b]$ всюду плотное множество), следовательно, пространство $C[a, b]$ сепарабельно. В пространстве $C[a, b]$ существует базис, например система функций Фабера – Шаудера образует базис в пространстве $C[0, 1]$. Критерий компактности в пространстве $C[a, b]$ даётся соответствующей теоремой Арцела: для того чтобы некоторое семейство функций $f\in C[a, b]$ было компактным относительно пространства $C[a, b]$, необходимо и достаточно, чтобы это семейство было равномерно ограничено и равностепенно непрерывно. Этот критерий обобщается на случай метрического пространства $C(X,Y)$ непрерывных отображений метрического компакта $X$ в метрический компакт $Y$. Для компактности замкнутого подмножества $A$ пространства $C(X,Y)$ необходимо и достаточно, чтобы входящие в $A$ отображения были равностепенно непрерывны. Расстояние между отображениями $f$ и $g$ из пространства $C(X,Y)$ задаётся формулой

$$\rho(f,g)=\sup_{x\in X}\rho(f(x),g(x)).$$