Уравне́ние Ван дер По́ля, нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение $2$-го порядка $$\ddot x -\mu(1-x^2)\dot x + x=0. \quad \mu=\operatorname{const}>0, \quad \dot x(t)\equiv \frac{dx}{dt}. \tag{1}$$Является важным частным случаем уравнения Льенара. Уравнение Ван дер Поля описывает свободные автоколебания одной из простейших нелинейных колебательных систем (осциллятора Ван дер Поля). В частности, уравнение (1) служит математической моделью (при ряде упрощающих предположений) лампового генератора на триоде в случае кубической характеристики лампы. Характер решений уравнения (1) был впервые подробно изучен Б. Ван дер Полем (см. Van dеr Pol. 1922).

Уравнение (1) эквивалентно системе двух уравнений относительно фазовых переменных $x, v$:$$\dot{x}=v, \quad \dot{v}=-x+\mu(1-x^{2}) v. \tag{2}$$Иногда вместо $x$ удобнее ввести переменную $z(t)=\int_{0}^{t} x(\tau)\,d \tau$; тогда уравнение (1) приведётся к уравнению$$\ddot{z}-\mu\left(\dot{z}-\frac{\dot{z}^{3}}{3}\right)+z=0,$$являющемуся частным случаем уравнения Рэлея. Если вместе с переменной $x$ рассмотреть переменную $y=-x+{x^{3}}/{3}+{\dot{x}}/{\mu}$, ввести новое время $\tau=t / \mu$ и положить $\varepsilon=\mu^{-2}$, то вместо уравнения (1) получим систему$$\varepsilon x^{\prime}=y-x+\frac{x^{3}}{3}, \quad y^{\prime}=-x, \quad {}^\prime=\frac{d}{d \tau} . \tag{3}$$При любом $\mu>0$ в фазовой плоскости системы (2) существует единственный устойчивый предельный цикл, к которому при $t\to\infty$ приближаются все остальные траектории (кроме положения равновесия в начале координат); этот предельный цикл адекватен автоколебаниям осциллятора Ван дер Поля (см. Андронов. 1981; Лефшец. 1961; Стокер. 1953).

При малых $\mu$ автоколебания осциллятора (1) близки к простым гармоническим колебаниям (см. Нелинейные колебания) с периодом $2\pi$ и с определённой амплитудой. Для вычисления колебательного процесса с большей точностью применяются асимптотические методы. При возрастании $\mu$ автоколебания осциллятора (1) всё более отклоняются от гармонических колебаний. При больших $\mu$ уравнение (1) описывает релаксационные колебания с периодом (в первом приближении) $1,614\mu$. Известны более точные асимптотические разложения величин, характеризующих релаксационные колебания (см. Дородницын. 1947); изучение этих колебаний равносильно исследованию решений системы (3) с малым параметром $\varepsilon$ при производной (Мищенко. 1975).

Уравнение$$\ddot{x}-\mu(1-x^2)\dot x+x = E_0 +E\sin\omega t$$описывает поведение осциллятора Ван дер Поля под воздействием внешнего периодического возмущения. Здесь наиболее важны изучение явления захватывания частоты (существования периодических колебаний) и исследование биений (возможности почти периодических колебаний; см. Андронов. 1981; Стокер. 1953).