Когомоло́гии топологи́ческого простра́нства, градуированная группа

$$H^*(X, G)=\sum_{n \geqslant 0} H^n(X, G),$$которая ставится в соответствие топологическому пространству и абелевой группе $G$. Понятие когомологий двойственно понятию гомологий (см. в статьях Группа гомологии, Гомологии и когомологии Александрова – Чеха). Если $G$ – кольцо, то в группе $H^*(X, G)$ определено естественное умножение (произведение Колмогорова – Александера или $\cup$-произведение), превращающее эту группу в градуированное кольцо (кольцо когомологий). В случае когда $X$ – дифференцируемое многообразие, кольцо когомологий $H^*(X, \mathbb{R})$ может быть вычислено при помощи дифференциальных форм на $X$ (см. в статье Теорема де Рама). Когомологии со значениями в пучке абелевых групп – обобщение обычных когомологий топологических пространств. Имеются две теории когомологий со значениями (или с коэффициентами) в пучках абелевых групп: когомологии Чеха и когомологии Гротендика.

Когомологии Чеха

Пусть $X$ – топологическое пространство, $\mathscr{F}$ – пучок абелевых групп на $X$, $\mathfrak{B}=\left\{U_i\right\}_{i \in I}$ – открытое покрытие пространства $X$. $n$-мерной коцепью покрытия $\mathfrak{B}$ называется отображение $f$, которое всякому упорядоченному набору $i_0, \ldots, i_n \in I$ такому, что

$$U_{i_0 \ldots i_n}=U_{i_0} \cap \ldots \cap U_{i_n} \neq \varnothing,$$сопоставляет сечение $f_{i_0 \ldots i_n}$ пучка $F$ над $U_{i_0} \ldots i_n$. Множество всех $n$-мерных коцепей $C^n(\mathfrak{B}, \mathscr{F})$ является абелевой группой относительно сложения. Кограничный оператор

$$\delta_n: C^n(\mathfrak{B}, \mathscr{F}) \rightarrow C^{n+1}(\mathfrak{B}, \mathscr{F})$$определяется следующим образом:

$$\left(\delta_n f\right)_{i_0 \ldots i_{n+1}}=\sum_{j=0}^{n+1}(-1)^j f_{i_0 \ldots \widehat{i_j} \ldots i_{n+1}},$$где символ $\hat{}$ означает, что соответствующий индекс опускается.

Последовательность

$$C^*(\mathfrak{B}, \mathscr{F}): C^0(\mathfrak{B}, \mathscr{F}) \stackrel{\delta_1}{\longrightarrow} C_1(\mathfrak{B}, \mathscr{F}) \stackrel{\delta_2}{\longrightarrow} \ldots$$является комплексом (комплекс Чеха). Когомологии этого комплекса обозначаются $H^n(\mathfrak{B}, \mathscr{F})$ и

называются когомологиями Чеха покрытия $\mathfrak{B}$ со значениями в $\mathscr{F}$. Группа $H^0(\mathfrak{B}, \mathscr{F})$ совпадает с группой $\Gamma(X, \mathscr{F})$ сечений пучка $\mathscr{F}$. При вычислении этих когомологий комплекс Чеха можно заменить его подкомплексом, состоящим из альтернированных коцепей, т. е. коцепей, меняющих знак при перестановке двух индексов и равных 0 в случае, когда два индекса совпадают.

Если покрытие $\mathfrak{B}$ вписано в $\mathfrak{w}=\left\{V_j\right\}$, т. е. для каждого $i \in I$ указано $\tau(i) \in J$ так, что $U_i \subseteq V_{\tau(i)}$, то определён канонический гомоморфизм $H^n(\mathfrak{w}, \mathscr{F}) \rightarrow H^n(\mathfrak{B}, \mathscr{F})$, не зависящий от вписывания $\tau$. $n$-мерная группа когомологий Чеха пространства $X$ со значениями в $\mathscr{F}$ определяется формулой:

$$\breve{H}^n(X, F)=\underset{\longrightarrow}{\lim}\, H^n(\mathfrak{B}, \mathscr{F}),$$где индуктивный предел берётся по направленному (по отношению вписанности) множеству классов открытых покрытий (два покрытия эквивалентны тогда и только тогда, когда каждое из них можно вписать в другое). Определение когомологий Чеха применимо и к предпучкам.

Недостатком когомологий Чеха является то, что они (для непаракомпактных пространств) не образуют когомологического функтора (см. в статье Гомологический функтор). В случае когда $\mathscr{F}$ – постоянный пучок, соответствующий абелевой группе $\mathscr{F}$, группы $\breve{H}^n(X, \mathscr{F})$ совпадают с когомологиями Александрова – Чеха с коэффициентами в группе $\mathscr{F}$.

Когомологии Гротендика

Рассматривается функтор $\mathscr{F} \rightarrow \Gamma(X, \mathscr{F})$ из категории пучков абелевых групп на $Х$ в категорию абелевых групп. Правые производные этого функтора называются $n$-мерными группами когомологий Гротендика со значениями в пучке $\mathscr{F}$ и обозначаются $H^n(X, \mathscr{F})$, $n=0,1, \ldots$. Точной последовательности пучков абелевых групп

$$0 \rightarrow \mathscr{F}_1 \rightarrow \mathscr{F}_2 \rightarrow \mathscr{F}_3 \rightarrow 0$$соответствует точная последовательность

$$\begin{aligned} \ldots &\longrightarrow H^{n-1}\left(X, \mathscr{F}_3\right) \longrightarrow H^n\left(X, \mathscr{F}_1\right) \longrightarrow H^n\left(X, \mathscr{F}_2\right) \longrightarrow \\ & \longrightarrow H^n\left(X, \mathscr{F}_3\right) \longrightarrow H^{n+1}\left(X, \mathscr{F}_1\right) \longrightarrow \ldots, \end{aligned}$$т. е. $\left\{H^n(X, \mathscr{F})\right\}_{n=0,1, \ldots}$ образуют когомологический функтор. При этом $H^0\left(X,\mathscr{F}\right)=\Gamma(X, \mathscr{F})$. Если $\mathscr{F}$ – вялый пучок, то $H^n(X, \mathscr{F})=0$ $(n>0)$. Эти три свойства когомологий Гротендика характеризуют функтор $\mathscr{F} \mapsto\left\{H^n(X, \mathscr{F})\right\}_{n=0,1, \ldots}$ однозначно с точностью до изоморфизма.

Для вычисления когомологий Гротендика пучка $\mathscr{F}$ можно воспользоваться левой резольвентой пучка $\mathscr{F}$, состоящей из пучков, когомологии Гротендика которых равны 0 в положительных размерностях. Например, на произвольных топологических пространствах можно взять резольвенту из вялых пучков, а на паракомпактных пространствах – из мягких пучков или из тонких пучков.

Когомологии Гротендика связаны с когомологиями покрытий следующим образом. Пусть $\mathfrak{B}= \left\{ U_i\right\}_{i \in I}$ – открытое покрытие пространства X. Тогда существует спектральная последовательность $\left\{E_r^{p, q}\right\}$, сходящаяся к $\left\{H^n(X, \mathscr{F})\right\}$ и такая, что

$$E_{2}^{p, q}=H^p\left(\mathfrak{B}, \mathscr{H}^q(X, \mathscr{F})\right),$$где $\mathscr{H}^q(X, \mathscr{F})$ – предпучок, сопоставляющий открытому множеству $V \subset X$ группу $H^q(V, \mathscr{F})$. Если когомологии всех $U_{i_0 \ldots i_n}$ со значениями в $\mathscr{F}$ равны 0 в положительных размерностях, то последовательность вырождается и

$$H^n(\mathfrak{B}, \mathscr{F}) \cong H^n(X, \mathscr{F}), \quad n=0,1, \ldots,$$(теорема Лере). В общем случае спектральная последовательность определяет функторный гомоморфизм

$$H^n(\mathfrak{B}, \mathscr{F}) \longrightarrow H^n(X, \mathscr{F})$$и после перехода к пределу – функторный гомоморфизм

$$\breve{H}^n(X, \mathscr{F}) \longrightarrow H^n(X, \mathscr{F}).$$Последний гомоморфизм биективен для $n=0,1$, инъективен (но, вообще говоря, не сюръективен) для $n=2$ и биективен для всех $n$, если $X$ паракомпактно. Таким образом, для паракомпактного пространства $X$

$$\breve{H}^n(X, \mathscr{F}) \cong H^n(X, \mathscr{F}), \quad n=0,1, \ldots$$Обобщением определённых выше групп когомологий являются группы когомологий $H_{\Phi}^n(X, \mathscr{F})$ с носителями в семействе $\Phi$. Семейство $\Phi$ замкнутых подмножеств пространства $X$ называется семейством носителей, если: 1) замкнутое подмножество любого множества из $\Phi$ принадлежит $\Phi$; 2) объединение любых двух подмножеств из $\Phi$ лежит в $\Phi$. Группы $H_{\Phi}^n(X, \mathscr{F})$ определяются как правые производные функтора $\mathscr{F} \mapsto \Gamma_{\Phi}(X, \mathscr{F})$, где $\Gamma_{\Phi}(X, \mathscr{F})=H_{\Phi}^0(X, \mathscr{F})$ – группа сечений пучка $\mathscr{F}$, носители которых лежат в $\Phi$. Они образуют когомологический функтор.

Если $\Phi$ – семейство всех замкнутых множеств, то $H_{\Phi}^n(X, \mathscr{F})=H^n(X, \mathscr{F})$. Другой важный частный случай: $\Phi=c$ – семейство всех компактных подмножеств. Группы $H_c^n(X, \mathscr{F})$ называются группами когомологий с компактным носителем.

В случае когда $\mathscr{F}$ – пучок колец, в группе

$$H^*(X, \mathscr{F})=\sum_{n \geqslant 0} H^n(X, \mathscr{F})$$естественным образом определяется умножение, превращающее её в градуированное кольцо (кольцо когомологий). При этом ассоциативность в пучке $\mathscr{F}$ влечёт за собой ассоциативность умножения в $H^*(X, \mathscr{F})$, а пучок коммутативных колец или колец Ли приводит к градуированно-коммутативному кольцу или градуированному кольцу Ли когомологий соответственно. Если $\mathscr{F}$ – пучок модулей над пучком колец $\mathcal{A}$, то $H^n(X, \mathscr{F})$ являются модулями над кольцом $\Gamma(X, \mathcal{A})$.

O когомологиях со значениями в пучке неабелевых групп см. в статье Неабелевы когомологии.