Когомоло́гии Че́ха (когомологии Александрова – Чеха, спектральные когомологии), прямой предел$$H^n(X; G)= \underset{\longrightarrow}{\rm lim}\, H^n(\alpha; G)$$когомологий с коэффициентами в абелевой группе $G$ нервов всевозможных открытых покрытий $\alpha$ топологического пространства $X$. Когомологии замкнутого подмножества $A\subset X$ могут быть определены аналогичным образом с помощью подсистем $\alpha'\subset\alpha$ всех тех множеств из $\alpha$, которые имеют непустое пересечение с $A$. Предел групп пар $H^n(\alpha, \alpha';G)$ определяет когомологии $H^n(X, A; G)$ пары $(X, A)$. Когомологическая последовательность$$\dots \to H^n(X, A; G)\to H^n(X;G)\to H^n(A; G)\to H^{n+1}(X, A; G)\to\dots$$пары $(X, A)$ точна как предел точных когомологических последовательностей пар нервов $(\alpha, \alpha')$.

Когомологии Александрова – Чеха служат заменой сингулярных когомологий в общих категориях топологических пространств и совпадают с ними всякий раз, когда применение последних не вызывает сомнений (а именно в случае гомологически локально связных, в частности, локально стягиваемых пространств). Они удовлетворяют всем аксиомам Стинрода – Эйленберга и в категории паракомпактных пространств однозначно определяются этими аксиомами вместе со следующими требованиями: а) $H^p=0$ при $p<0$; б) когомологии дискретного объединения $\cup_\lambda X_\lambda$ естественно изоморфны прямому произведению когомологий пространств $X_\lambda$; в) $\underset{\longrightarrow}{\rm lim}\, H^p(U_\lambda; G) = H^p(x; G)$ для системы всех окрестностей $U_\lambda$ произвольной точки $x\in X$. Когомологии Александрова – Чеха изоморфны когомологиям Александера – Спеньера. Они могут быть определены с коэффициентами в пучке и для паракомпактных пространств изоморфны когомологиям, определяемым в теории пучков.

Возможность аппроксимации пространств полиэдрами – нервами замкнутых покрытий установлена П. С. Александровым (Александров. 1927; Александров. 1927; Александров. 1928). Для частного случая им было дано определение обратного предела топологических пространств, а на основе аппроксимации – определение чисел Бетти метризуемых компактов. Группы гомологий компактов определялись в терминах циклов Вьеториса. Л. С. Понтрягин (Понтрягин. 1931) ввёл прямые и обратные спектры групп, и эти понятия были применены им к изучению групп гомологий компактов. Э. Чех (Е. Čech) стал рассматривать нервы конечных открытых покрытий некомпактных пространств и на этой основе положил начало гомологической теории произвольных топологических пространств. Позже выяснилось, что рассмотрение исключительно конечных покрытий не оправдано (так как приводит к довольно сложным гомологиям компактификации Стоуна – Чеха). Плодотворность использования произвольных открытых покрытий в теории гомологий и когомологий некомпактных пространств продемонстрировал X. Даукер (Dowker. 1947).