Аналити́ческое отображе́ние, аналитический морфизм, морфизм аналитических пространств, рассматриваемых как окольцованные пространства. Аналитическое отображение пространства $(X, \mathcal O_X)$в пространство $(Y, \mathcal O_Y)$ есть пара $(f_0, f_1)$, где $$f_0: X \to Y$$– непрерывное отображение, а$$f_1: f_0^{-1}(\mathcal O_Y) \to \mathcal O_X$$– гомоморфизм пучков колец на $X$. В случае комплексных пространств аналитическое отображение называют также голоморфным отображением.

В случае, когда$(X, \mathcal O_X)$ и $(Y, \mathcal O_Y)$ – приведённые аналитические пространства, гомоморфизм $f_1$ полностью определяется отображением $f_0$ и является обратным отображением ростков функций, отвечающим $f_0$. Таким образом, в этом случае аналитическое отображение – это такое отображение $f: X\to Y$, что для любого $x\in X$ и любого $\varphi \in \mathcal O_{f(x)}$ имеет место $\varphi \circ f \in \mathcal O_x$.

Слоем аналитического отображения$$f = (f_0, f_1): (X, \mathcal O_X) \to (Y, \mathcal O_Y)$$в точке $y \in Y$ называется аналитическое подпространство$$f^{-1}(y) = \big(f_0^{-1}(y), \, \mathcal O_X / f_1(m_y) \mathcal O_x | f_0^{-1}(y) \big)$$пространства $(X, \mathcal O_X)$, где $m_y \in \mathcal O_y$ – пучок ростков функций, обращающихся в $0$ в точке $y$. Если положить$$d(x) = {\rm dim}_x f^{-1}(f_0(x)), \quad x \in X,$$то имеет место неравенство $${\rm dim}_x X \le {\rm dim}_{f_0(x)} Y + d(x). \tag{*}$$Если $X$ и $Y$ – приведённые комплексные пространства, то для всякого $l \ge 0$ множество$$X_l = \{x\in X | d(x) \ge l \}$$является аналитическим в $X$.

Аналитическое отображение $f=(f_0, f_1)$ называется плоским в точке $x \in X$, если $\mathcal O_{X,\, x}$ является плоским модулем над кольцом $\mathcal O_{Y, f_0(x)}$. В этом случае неравенство (*) превращается в равенство. Аналитическое отображение называется плоским, если оно плоское в каждой точке $x\in X$. Плоское аналитическое отображение комплексных пространств является открытым. Верно и обратное: если $f_0$ открыто, $Y$ гладко, а $X$ и все слои приведены, то $f$ – плоское аналитическое отображение. Множество точек комплексного или жёсткого аналитического пространства $X$, у которых аналитическое отображение $f$ не является плоским, будет аналитическим в $X$. Если $X$ и $Y$ – приведённые комплексные пространства, причём $X$ имеет счётную базу, то в $Y$ существует открытое всюду плотное множество, над которым $f$ – плоское аналитическое отображение. Если аналитическое отображение$$f: (X, \mathcal O_X) \to (Y, \mathcal O_Y)$$комплексных пространств плоско, то множества тех $x\in X$, в которых слой $f^{-1}(x)$ не приведён или ненормален, являются аналитическими в $(X, \mathcal O_X)$.

Пусть $f: X \to Y$ – аналитическое отображение приведённых комплексных пространств. Если $\operatorname{dim} X < \infty$, то существует стратификация $$\emptyset = X(-1) \subseteq X(0) \subseteq \dots \subseteq X(r) \subseteq \dots,$$где $X(r)$ – аналитические множества и $X(r) = X$ для больших $r$, со следующим свойством: всякая точка $x \in X(r) \setminus X(r-1)$ обладает такой окрестностью $U$ в $X$, что $f(U \cap X(r))$ – локальное аналитическое множество в $Y$, все неприводимые компоненты ростка которого в точке $f(x)$ имеют размерность $r$. В частности, если $f$ собственное, то $f(X)$ – аналитическое множество в $X$. Этот факт является частным случаем теорем конечности для аналитических отображений.

Пусть $X$, $Y$ – комплексные пространства, причём $X$ компактно. Тогда множество $\operatorname{Mor}(X, Y)$ всех аналитических отображений $f: X \to Y$ можно снабдить такой структурой комплексного пространства, что отображение$$\operatorname{Mor}(X, Y) \times X \to Y,$$переводящее пару $(f, x)$ в $f_0(x)$, аналитично. В частности, группа автоморфизмов компактного комплексного пространства $X$ является комплексной группой Ли, аналитически действующей на $X$.