Ви́неровский проце́сс, однородный гауссовский процесс $X(t)$ с независимыми приращениями. Винеровский процесс служит одной из математических моделей для процесса броуновского движения. Простым преобразованием винеровский процесс может быть превращён в «стандартный» винеровский процесс $X(t)$, $t\geqslant 0$, для которого

$$\begin{gathered} X(0)=0,\quad\mathsf{E}[X(t)-X(s)]=0,\\ \mathsf{D}[X(t)-X(s)]=t-s,\quad s\leqslant t; \end{gathered}$$при таких средних значениях и дисперсиях приращений это единственный непрерывный с вероятностью $1$ процесс с независимыми приращениями. Ниже под винеровским процессом будет пониматься именно этот процесс.

Винеровский процесс $X(t)$, $0\leqslant t\leqslant 1$, определяется также как гауссовский случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией

$$B(s,t)=\min (s, t).$$Винеровский процесс $X(t$), $t\geqslant 1$, может быть определён как однородный марковский процесс с переходной функцией

$$P(t,x,\Gamma)=\int\limits_{\Gamma}p(t,x,y)\,dy,$$где переходная плотность $p(t,x,y)$ есть фундаментальное решение параболического дифференциального уравнения

$$\frac{\partial p}{\partial t}=\frac 12\frac{\partial^2p}{\partial x^2}$$и описывается формулой

$$p(t,x,y)=\frac 1{\sqrt{2\pi t}}e^{-(y-x)^2/2t}.$$Переходная функция $P(t, x, \Gamma)$ инвариантна относительно преобразований сдвига в фазовом пространстве:

$$P(t,x+y,\Gamma)=P(t,x,\Gamma-y),$$где $\Gamma-y$ обозначает множество $\{z : z+y\in\Gamma\}$.

Винеровский процесс является непрерывным аналогом случайного блуждания частицы, которая в дискретные моменты времени $t=k\Delta t$ (кратные $\Delta t$) в результате случайного воздействия каждый раз, независимо от предшествующих обстоятельств, смещается на величину $\Delta X(t)$ ($\mathsf{E}\Delta X(t)=0$, $\mathsf{D}\Delta X(t)=\Delta t$); точнее, если при $\Delta t=1/n$

$$X(t)=\sum_{k=0}^{m-1}\Delta X\left(\frac kn\right)+(nt-m)\Delta X\left(\frac mn\right),\quad 0\leqslant t\leqslant 1,$$– случайная траектория движения такой частицы на отрезке $[0, 1]$ (здесь $\Delta t=1/n$, $m=[nt]$ – целая часть $nt$, $X(t)=nt\Delta X(0)$ при $0\leqslant t<1/n$), а $\mathsf{P}_n$ – соответствующее распределение вероятностей в пространстве непрерывных функций $x=x(t)$, $0\leqslant t\leqslant 1$, то распределение вероятностей $\mathsf{P}$ траектории винеровского процесса $X(t)$, $0\leqslant t\leqslant 1$, является предельным (в смысле слабой сходимости) для распределений $\mathsf{P}_n$ при $n\to\infty$: $\mathsf{P}_n\Rightarrow\mathsf{P}$.

Как функция со значениями в гильбертовом пространстве $L^2(\Omega)$ всех случайных величин $X$, $\mathsf{E}X^2<\infty$, в котором скалярное произведение определено формулой

$$\langle X_1,X_2\rangle=\mathsf{E}X_1X_2,$$винеровский процесс $X=X(t)$, $0\leqslant t\leqslant 1$ допускает следующее каноническое представление:

$$X(t)=\sum_{k=0}^\infty z_k\varphi_k(t),$$где $z_k$ – независимые гауссовские величины:

$$\begin{gathered} \mathsf{E}z_k=0,\quad\mathsf{D}z_k=\frac{1}{\left[\dfrac\pi2(2k+1)\right]^2},\\ \varphi_k(t)=\sin\left[\frac\pi2(2k+1)t\right],\quad k=0,1,\ldots, \end{gathered}$$– собственные функции оператора $B$, определённого формулой:

$$B\varphi(t)=\int\limits_0^1B(s,t)\varphi(s)\,ds$$в гильбертовом пространстве $L^2[0, 1]$ всех интегрируемых с квадратом (относительно лебеговской меры) функций $\varphi=\varphi(t)$ на отрезке $[0, 1]$.

Для почти всех траекторий винеровского процесса имеют место следующие соотношения:

$$\lim_{h\to\infty}\frac{X(h)}{\sqrt{2h\ln\ln\dfrac1n}}=1,\quad X(0)=0,$$– закон повторного логарифма;

$$\lim_{h\to{+}0}\sup_{0\leqslant t\leqslant\delta-h}\frac{|X(t+h)-X(t)|}{\sqrt{2h\ln\dfrac\delta h}}=1,$$что характеризует модуль непрерывности на отрезке $[0,h]$;

$$\begin{gathered} \lim_{h\to\infty}\sum_{k=0}^{n-1}|\Delta X(kh)|^2,\\ h=\delta/n,\quad\Delta X(t)=X(t+h)-X(t). \end{gathered}$$В применении к винеровскому процессу вида $X_1(t)=tX\Big(\dfrac1t\Big)$, $0\leqslant t<\infty$, закон повторного логарифма записывается в форме:

$$\lim_{t\to\infty}\frac{X(t)}{\sqrt{2t\ln\ln t}}=1.$$Характер смещения броуновской частицы за конечное время $t$ может быть описан с помощью распределения вероятностей максимума $\max\limits_{0\leqslant s\leqslant t}X(s)$:

$$\mathsf{P}\Bigl\{\,\max\limits_{0\leqslant s\leqslant t}X(s)\geqslant x\Bigr\} =\frac2{\sqrt{2\pi t}}\int\limits_x^\infty e^{-u^2/2t}\,du,$$$0\leqslant x<\infty$, $t$ фиксировано, $0\leqslant t<\infty$; а также с помощью распределения времени $\tau$ первого достижения броуновской частицей фиксированной точки $x>0$:

$$\mathsf{P}\{\tau_x\geqslant t\}=\sqrt{\frac2\pi}\int\limits_0^{x/\sqrt{t}}e^{-u^2/2t}\,du,$$$0\leqslant t<\infty$, $x$ фиксировано, $0\leqslant x<\infty$ (закономерности винеровского процесса остаются без изменения при преобразовании фазового пространства $x\to-x$). Совместное распределение точки максимума $\tau, 0\leqslant\tau\leqslant t$, и самого максимума $\max\limits_{0\leqslant s\leqslant t}X(s)$ имеет плотность вероятности

$$\begin{gathered} p(s,x)=\frac1{\pi\sqrt{s(t-s)}}\,\frac xs\,e^{-x^2/2s},\\ 0\leqslant s\leqslant t,\quad 0\leqslant x<\infty, \end{gathered}$$а отдельно взятая точка $\tau$ (с вероятностью $1$ имеется лишь один максимум на отрезке $0\leqslant s\leqslant t$) распределена по закону арксинуса:

$$\mathsf{P}\{\tau\leqslant s\}=\frac2\pi\arcsin\sqrt{\frac st},\quad 0\leqslant s\leqslant t,$$с плотностью вероятности

$$p(s)=\frac1{\pi\sqrt{s(t-s)}},\quad 0\leqslant s\leqslant t.$$Из приведённых выше формул легко выводятся следующие характерные свойства винеровского процесса. Броуновская траектория является нигде не дифференцируемой, причём при выходе из какой-либо точки $x$ эта траектория за сколь угодно малое время $\delta$ с вероятностью $1$ бесконечно много раз пересекает «уровень» $x$ (возвращаясь в исходную точку); с течением времени $t$ броуновская траектория обходит все точки $x$; точнее, $\tau_x<\infty$ с вероятностью $1$ (при этом вероятное значение $\tau_x$ для больших x имеет порядок $x^2$); рассматриваемая на фиксированном отрезке $[0, t]$, эта траектория имеет тенденцию достигать экстремальных значений вблизи концевых точек $s=0$ и $s=t$.

Для винеровского процесса как марковского однородного процесса существует инвариантная мера $Q(dx)$:

$$Q(A)\equiv\int Q(dx)\,P(t,x,A),$$которая в силу упомянутого выше свойства инвариантности переходной функции $P(t, x, A)$ совпадает с лебеговской мерой на прямой: $Q(dx)=dx$. Время $T(A)$, проведённое броуновской частицей в множестве $A$ за промежуток от $0$ до $T$, таково, что с вероятностью $1$

$$\frac{T(A_1)}{T(A_2)}\longrightarrow\frac{Q(A_1)}{Q(A_2)},\ \ \ \ \text{при }T\to\infty,$$для любых ограниченных борелевских множеств $A_1$ и $A_2$.

Аналогом винеровского процесса $X=X(t)$ для векторного параметра $t=(t_1,\ldots,t_n)$ являются случайные поля, введённые П. Леви (Lévy. 1965).