Фундамента́льное реше́ние линейного дифференциального уравнения с частными производными, решение дифференциального уравнения с частными производными $L u(x)=0,$ $x \in \mathbb{R}^n$, с коэффициентами класса $C^{\infty}$ в виде функции $I(x, y)$, удовлетворяющей при фиксированном $y \in \mathbb{R}^n$ уравнению$$L I(x, y)=\delta(x-y), \quad x \neq y,$$которое понимается в смысле теории обобщённых функций, где $\delta$ – дельта-функция. Фундаментальное решение существует для всякого дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, а также для произвольных эллиптических уравнений. Например, для эллиптического уравнения$$\sum_{i, j=1}^{n} a_{i j} \frac{\partial^{2} u}{\partial x_{i} \partial x_{j}}=0$$с постоянными коэффициентами $a_{i j}$, образующими положительно определённую матрицу $a$, фундаментальным решением служит функция$$I(x, y)=\left\{\begin{array}{l} {\left[\sum_{i, j=1}^{n} A_{i j} \left(x_{i}-y_{i}\right)\left(x_{j}-y_{j}\right) \right]^{(2-n) / 2},\,\, n>2,} \\ {\log \left[\sum_{i, j=1}^{n} A_{i j}\left(x_{i}-y_{i}\right)\left(x_{j}-y_{j} \right)\right],\,\, n=2,} \end{array}\right.$$где $A_{ij}$ – алгебраическое дополнение к $a_{ij}$ в матрице $a$.

В теории эллиптических уравнений фундаментальные решения широко используются при изучении краевых задач с помощью интегральных уравнений.