Зако́н аркси́нуса, предельная теорема, описывающая флуктуации случайного блуждания на прямой, приводящая к распределению арксинуса или обобщённому распределению арксинуса. В 1939 г. П. Леви для процесса броуновского движения $\{\xi_t,\ t\leqslant0,\ \xi_0=0\}$ отметил следующий факт. Пусть $\tau_t$ – мера Лебега множества $\{u:\xi_u>0,\ 0\leqslant u\leqslant t\}$, другими словами, время, проведённое броуновской частицей на положительной полуоси за промежуток времени $[0, t]$. Тогда отношение $\tau_t/t$ имеет распределение арксинуса:

$$\mathsf{P}\bigl\{\tau_t/t<x\bigr\}=F_{1/2}(x)=\frac{2}{\pi}\arcsin\sqrt{x},\quad 0\leqslant x\leqslant 1,\quad t>0.$$Позднее было обнаружено (см. Спицер. 1962), что для случайного блуждания с дискретным временем имеет место следующий закон арксинуса: пусть $S_0=0, S_1, \ldots S_n,\ldots$ – последовательные положения в случайном блуждании,

$$S_n=\sum_{u=1}^n\xi_n,$$$\xi_1, \xi_2,\ldots\xi_n,\ldots$ независимы и одинаково распределены, $T_n$ равно числу индексов $k$ среди $0, 1,\ldots n$, для которых $S_k>0$,

$$K_n=\min\bigl\{k:S_k=\max_{0\leqslant m\leqslant n}S_m\bigr\},$$тогда соотношения

$$\begin{gathered} \lim_{n\to\infty}\mathsf{P}\bigl\{T_n/n<x\bigr\}=\lim_{n\to\infty}\mathsf{P}\bigl\{K_n/n<x\bigr\}=F_\alpha(x),\\ \lim_{n\to\infty}\frac{\mathsf{P}\{S_1<0\}+\ldots+\mathsf{P}\{S_n<0\}}n=\alpha \end{gathered}$$выполняются или не выполняются одновременно, где $F_\alpha(x)$ при $0<\alpha<1$ – обобщённое распределение арксинуса,

$$F_1(x)=\mathsf{E}(x)\text{ и }F_0(x)=\mathsf{E}(x-1),$$при этом $\mathsf{E}(x)=0$ при $x\leqslant 0$ и $\mathsf{E}(x)=1$ при $x>0$.

Закон арксинуса в теории восстановления утверждает, что при $0<\alpha<1$ имеют место равенства:

$$\mathsf P\bigl\{\xi_1\geqslant 0\bigr\}=1$$и

$$y_t=t-S_{\eta_t},$$где $\eta_t$ определяется соотношением $S_{\eta_t}<t\leqslant S_{\eta_t+1}$,

$$\lim_{t\to\infty}\mathsf{P}\bigl\{y_t/t<x\bigr\}=F_\alpha(x)$$тогда и только тогда, когда

$$\mathsf{P}\bigl\{\xi_1>x\bigr\}=x^{-\alpha}L(x)$$при $x>0$, где $L(x)$ – функция, определённая при $x>0$ и обладающая свойством

$$\lim_{x\to\infty}L(xy)/L(x)=1\text{ при } 0<y<\infty.$$Существует тесная связь между законом арксинуса в теории восстановления и для случайных блужданий (Рогозин. 1971).