Математи́ческое ожида́ние, одна из числовых характеристик распределения вероятностей случайной величины. Для случайной величины $X$, принимающей значения $x_1,x_2,\ldots$ с вероятностями, равными соответственно $p_1,p_2,\ldots$, математическое ожидание $\mathbf{E}X$определяется равенством $$\mathbf{E}X=\sum_{k=1}^{\infty }x_kp_k$$при условии, что ряд сходится абсолютно. Для случайной величины $X$ с непрерывным распределением, имеющим плотность вероятности $p(x)$, математическое ожидание определяется равенством $$\mathbf{E}X=\int_{-\infty }^{\infty }xp(x)\,dx$$при условии, что интеграл сходится абсолютно. В общем случае математическое ожидание определяется равенством $$\mathbf{E}X=\int_{-\infty }^{\infty }x\,dF(x)$$при условии, что интеграл сходится абсолютно. Здесь $F(x)$ – функция распределения случайной величины $X$, а интеграл понимается в смысле Римана – Стилтьеса.

При сложении случайных величин их математические ожидания складываются, при умножении независимых случайных величин их математические ожидания перемножаются.

Название «математическое ожидание» происходит от понятия «ожидаемое значение выигрыша» (математическое ожидание выигрыша), впервые появившегося в трудах Б. Паскаля и Х. Гюйгенса в задачах, связанных с азартными играми. Термин «математическое ожидание» ввёл П. Лаплас (1795); в полной мере это понятие было оценено и использовано П. Л. Чебышёвым. Математическое ожидание характеризует расположение «центра» значений случайной величины, аналогом математического ожидания в механике является центр тяжести. Иногда математическое ожидание $\mathbf{E}X$ называют средним значением случайной величины $X$. Математическое ожидание участвует в формулировках фундаментальных утверждений теории вероятностей. Многие важные характеристики распределений вероятностей определяются как математические ожидания некоторых функций от случайных величин.

В аксиоматической теории вероятностей, где исходным понятием является вероятностное пространство$(Ω, \mathscr A, \mathbf{P})$, случайными величинами (принимающими действительные значения) являются измеримые относительно $σ$-алгебры $\mathscr A$ функции, т. е. такие функции $X(ω)$, $ω∈Ω$, для которых $\{ ω:X(ω) < x \}∈\mathscr A$ для любого действительного $x$, и математическое ожидание $X$ определяется с помощью интеграла Лебега $$\mathbf{E}X=\int_{\Omega }X(\omega )\mathbf{P}(d\omega )$$(обычно при условии, что он конечен). Из этого определения следуют равенства, приведённые выше.

В некоторых задачах теории вероятностей и математической статистики используется условное математическое ожидание $X$ относительно $σ$-алгебры $\mathscr D \subseteq \mathscr A$. Так называется случайная величина, обозначаемая $\mathbf{E}(X ∣ \mathscr D)$, которая измерима относительно $\mathscr D$ и такая, что $$\int_{A}X(\omega )\mathbf{P}(d\omega )=\int_{A}\mathbf{E}(X ∣ \mathscr D)(\omega )\mathbf{P}(d\omega )$$для любого $A∈\mathscr D$. В случае когда $\mathscr D$ является тривиальной $σ$-алгеброй, т. е. состоит из $Ω$ и $∅$, условное математическое ожидание $\mathbf{E}(Х∣\mathscr D)$ совпадает с $\mathbf{E}Х$, а в случае $\mathscr D=\mathscr A$ справедливо равенство $\mathbf{E} (Х ∣ \mathscr D )= X$.

Используется также условное математическое ожидание случайной величины $X$ относительно случайной величины $Y$, которое обозначается $\mathbf{E}(Х ∣ Y)$ и определяется как условное математическое ожидание $X$ относительно $σ$-алгебры, порождённой случайной величиной $Y$.