Теоре́ма Пуассо́на, одна из предельных теорем теории вероятностей, дающая предельное распределение числа наступлений некоторого маловероятного (редкого) события при большом числе независимых испытаний. Если, например, $P_n(k)$ вероятность того, что в схеме Бернулли, состоящей из $n$ опытов, некоторое событие $A$, имеющее вероятность $p$, наступило $k$ раз, то теорема Пуассона утверждает, что при больших значениях $n$ и $1/p$ вероятности $P_n(k)$, $k=0,1,\ldots,n$, близки к числам

$$\frac{(np)^k}{k!}e^{-np}.$$Величина $np=λ$ есть среднее значение числа наступления события $A$, а величины $\frac{λ^k}{k!}e^{-λ},$$k=0,1,2,\ldots, λ\gt 0$ составляют распределение Пуассона. Более удобна теорема Пуассона в форме неравенства для более общей схемы, чем схема Бернулли: если событие $A$ наступает в $j$-м опыте с вероятностью $p_j$, $j=1,2,\ldots,n$, $λ=p_1+\ldots+p_n$, $δ=p^2_1+\ldots+p^2_n$, то при $n⩾2$ и всех $k=0,1,\ldots,n$

$$\left|P_n(k)-\frac{λ^k}{k!}e^{-λ} \right| \leqslant 2δ.$$Это неравенство оценивает ошибку при замене $P_n(k)$ величиной $\frac{λ^k}{k!}e^{-λ}$. Если, например, $p_1=\ldots=p_n=λ/n$, то $δ=λ^2/n$ и ошибка уменьшается с ростом $n$. Ныне в теореме Пуассона обычно используется схема серий. Одна из форм теоремы Пуассона имеет следующий вид. Пусть

$$X_{1,1},\\ X_{2,1}, X_{2,2},\\\ldots\\X_{n,1}, X_{n,2}, \ldots, X_{n,n}$$– схема серий, состоящая из случайных величин $X_{n, j}$, $n=1,2,\ldots$, $j=1,\ldots,n$ (первый индекс – номер серии, второй – номер величины в серии), случайные величины в каждой серии независимы, одинаково распределены и $\sf{P}\it\{X_{n, j}=0\}=1-p_n,$ $\sf{P}\it\{X_{n,j}=1\}=p_n$, $j=1,\ldots,n$. Если $np_n→λ$, $λ\gt 0$, при $n→∞$, то

$$\sf{P}\it \{X_{n,1}+...+P_{n,n}=k\}\rightarrow \frac{λ^k}{k!}e^{-λ},\quad k=0,1,2, \ldots .$$Теорема Пуассона установлена С. Пуассоном в 1837 г.

Теоремой Пуассона называется также одна из форм закона больших чисел.