Случа́йное собы́тие, событие, которое может произойти или не произойти в зависимости от случая. Например, при бросании игральной кости могут произойти или не произойти случайные события «число очков на верхней грани чётно», «число очков на верхней грани равно 5», «число очков на верхней грани кратно трём». В теории вероятностей считается, что каждому случайному явлению (испытанию, эксперименту со случайными исходами) можно сопоставить вероятностное пространство $(\Omega,\mathscr{A},\mathsf{P})$, где $\Omega=\{ω\}$ – множество элементарных исходов (элементарных событий), $\mathscr{A}$ – совокупность подмножеств $\Omega$, являющаяся $\sigma$-алгеброй, и $\mathsf{P}$ – распределение вероятностей на $$\mathscr{A}$$. Элементы множества $$\mathscr{A}$$ называются событиями или случайными событиями. При осуществлении (реализации) комплекса условий $S$, необходимого для проведения эксперимента (например, бросание игральной кости), появляется (реализуется) один и только один элементарный исход $\omega$. Если реализовался элементарный исход $\omega$, то произошли (реализовались) все события $A\in\mathscr{A}$, для которых $\omega\in A$, и не произошли события$$A\in\mathscr{A}$$, для которых $$\omega\notin A$$. Например, при бросании игральной кости множество $$\Omega$$ состоит из шести элементарных исходов $\omega_1,\ldots,\omega_6$ ($\omega_j$ – на верхней грани $j$ очков), а случайные события, о которых говорилось выше, суть множества $\{\omega_2,\omega_4,\omega_6\}$, $\{\omega_5\}$, $\{\omega_3,\omega_6\}$. Таким образом, реальные случайные события отождествляются с подмножествами $$\Omega$$. Операциям над реальными случайными событиями соответствуют теоретико-множественные операции над элементами множества $$\mathscr{A}$$. Так, ненаступление случайного события $A$ – это случайное событие $\Omega\setminus A$; объединение случайных событий $A$ и $B$ (произошло хотя бы одно из этих случайных событий) – это случайное событие $A\cup B$; пересечение случайных событий $A$ и $B$ (одновременное наступление $A$ и $B$, совмещение $A$ и $B$) – это случайное событие $A\cap B$. Случайные события $A$ и $B$ называют несовместными, если множества $A$ и $B$ не содержат общих элементов $\omega$, т. е. $A\cap B=\varnothing$. Если событие $A$ влечёт событие $B$, т. е. всякий раз, когда происходит $A$, происходит и $B$, то это означает, что$A⊂B$. В множество $$\mathscr{A}$$ случайных событий включают всё $\Omega$, которое называют достоверным событием, и пустое множество $\varnothing$, которое называют невозможным событием. Для того чтобы операции над событиями не выводили за пределы множества событий, необходимо, чтобы множество случайных событий $$\mathscr{A}$$ было алгеброй множеств, а для того чтобы операции над случайными событиями в счётном числе не выводили за пределы множества случайных событий, нужно потребовать, чтобы множество $$\mathscr{A}$$ было $\sigma$-алгеброй.

В элементарном случае, когда множество $$\Omega$$ состоит из конечного числа n элементарных исходов, в качестве множества случайных событий $\mathscr{A}$ можно взять множество всех подмножеств $$\Omega$$. Это множество является $\sigma$-алгеброй и состоит из $2^n$ событий (включая достоверное и невозможное события). В общем случае приходится использовать $$\sigma$$-алгебры, которые существенно беднее множества всех подмножеств $$\Omega$$. Так, в эксперименте «бросание точки наудачу на отрезок $[0,1]$» естественно взять этот отрезок в качестве $\Omega$ и естественно считать, что вероятности попасть в отрезки $[a,b]$, $0 \leqslant a < b \leqslant 1$, равны длинам этих отрезков и не зависят от их положений на $[0,1]$. Оказывается, что так определённую вероятность нельзя продолжить на совокупность всех подмножеств отрезка $[0,1]$, и приходится ограничиваться, например, наименьшей $$\sigma$$-алгеброй, содержащей все отрезки $[a,b]$, $$0 \leqslant a < b \leqslant 1$$, на которую указанную вероятность продолжить можно. Указанная $$\sigma$$-алгебра (так называемая $$\sigma$$-алгебра борелевских подмножеств отрезка $[0,1]$) достаточно богата; в частности, она содержит все интервалы из отрезка $[0,1]$, счётные объединения интервалов и т. д., и её хватает для решения всех задач, связанных с указанным экспериментом.