Производя́щая фу́нкция (генератриса) последовательности $u_0,u_1,\ldots,u_n,\ldots$ – функция переменной $t$

$$U(t)=\sum_{n=0}^{\infty} u_nt^n,$$если степенной ряд сходится в каком-нибудь интервале $∣t∣\lt t_0$. Производящие функции определяются как для числовых, так и для функциональных последовательностей (в последнем случае производящая функция зависит не только от $t$, но и от аргументов функций $u_n$). Например, если $u_n =aq^n$ (где $a$, $q$ – постоянные) – геометрическая прогрессия, то её производящая функция $$U(t)=\sum_{n=0}^{\infty} a(qt)^n=\frac{a}{1-qt};$$если $u_n=T_n(x)$ – многочлены Чебышёва, $T_0(x)≡1$, $T_n(x)=\cos(n \arccos x)$, $n=1, 2, \ldots$, то соответствующая производящая функция

$$U(t)=U(t,x)=\sum_{n=0}^{\infty} T_n(x)t^n=\frac{1-tx}{1-2tx+t^2}.$$Как правило, использование производящей функции упрощает изучение свойств последовательностей; при довольно широких условиях последовательность однозначно восстанавливается по производящей функции. Метод производящих функций используется в алгебре, теории функций и особенно в теории вероятностей, где этот метод был впервые применён А. де Муавром и П.-С. Лапласом.