Моде́ль с простра́нственной зави́симостью в оши́бках (англ. spatial error model, SEM), пространственно-эконометрическая модель, применяемая при моделировании процессов с использованием региональных данных.

Применение данной модели целесообразно в случаях, когда в линейных регрессионных моделях в качестве объектов наблюдений используются страны, регионы и т. д., имеющие общие границы, потоки товаров, услуг и др., т. к. предположение о независимости данных наблюдений, которое входит в условие теоремы Гаусса – Маркова, нарушается. Если пространственная зависимость между факторами в моделях, оцениваемых по таким наблюдениям, не учтена, то она проявится в ошибках регрессии.

Пространственная зависимость шоков для соседних (в широком смысле) географических единиц может быть учтена с помощью модели с пространственной зависимостью в ошибках:

$Y=αi_{n}+ Xβ+ε, \ ε=λWε+u,$

где $n$ – число наблюдений, $Y$ – зависимая переменная, $i _{n}$ – единичный $n$-мерный вектор, $X$ – матрица объясняющих переменных, $α,β$ – оцениваемые коэффициенты, $\varepsilon$ – ошибки регрессии, $W$ – пространственная матрица, $\lambda$ – коэффициент пространственной корреляции ошибок регрессии, $u$ – независимые одинаково распределённые случайные величины с дисперсией $\sigma _u^2$ (в предположении о нормальном распределении).

Для ответа на вопрос, действительно ли имеет место пространственная зависимость в остатках, обычно проверяется гипотеза (Fischer, Wang, 2011) $H _{0} : λ=0$ с помощью тестовой статистики Лагранжа:

$LM= ( \frac{e'We}{{e'en}^{-1} }) ^2 \frac{1}{tr[W'W+W^2]}$.

Поскольку ковариационная матрица ошибок регрессии, в случае их пространственной зависимости, не пропорциональна единичной, а именно $var[e]= \sigma _u^2 (I-λW)^{-1}(I-λW')^{-1}$, то оценки параметров $α,β$ методом наименьших квадратов будут несмещёнными, но их стандартные ошибки (а следовательно и t-статистики для проверки значимости) будут вычислены неверно. Поэтому для оценки параметров обычно используют метод максимального правдоподобия.

Оценки коэффициентов $β$ в модели с пространственной зависимостью в ошибках интерпретируются традиционным для линейных моделей образом: если коэффициент $j$ при переменной $X _{j}$ значим, то при увеличении $X _{j}$ на одну единицу, зависимая переменная изменится на $j$ единиц.

Для интерпретации коэффициента пространственной корреляции $\lambda$ ошибок регрессии удобно использовать следующее представление ошибок регрессии:

$\varepsilon = (I- \lambda W)^{-1}u=(I+ \lambda W+ \lambda ^2 W^2+...)u=u+ \lambda Wu + \lambda ^2W^2u+...,$

где $\varepsilon = ( \varepsilon_1,..., \varepsilon _{n})', \ u = ( u_1,..., u _{n})', \ Wu = ( (Wu)_1,..., (Wu) _{n})', \ (Wu)_i = \sum_{j=1}^n w_{ij} u_{j}$ и т. д.

В этом разложении $u_i$ характеризует шок переменной, произошедший в рассматриваемом $i$-м регионе, а $(Wu)_i$ – средние шоки этой же переменной в соседних с $i$-м регионах, $(W^2u)_i$ – шоки в соседних с соседними регионами и т. д. Чем меньше $| \lambda |$, тем быстрее затухает влияние шока, произошедшего в рассматриваемом $i$-м регионе, в соседних регионах.