Лока́льные индика́торы простра́нственной зави́симости (англ. local indicators of spatial association, LISA), статистические критерии, позволяющие определить зависимость между показателями рассматриваемых географических единиц и соседних для них географических единиц. Впервые введены Л. Анселином (Anselin. 1995). Используются для выявления того, является ли рассматриваемая группа объектов (обычно регионов) случайно расположенной относительно рассматриваемого показателя $Y$, наряду с показателями глобальных кластеров – индексами Морана, Гири, Гетиса – Орда (Демидова. 2021).

Локальный индекс Морана

Локальный индекс Морана для каждого из регионов $i=1,…,n$ определяется следующим образом (Fischer, Wang, 2011, р. 27):

$I_{i} (Y) = ( Y_{i} - \overline{Y}_{ J_{i} } ) \sum_{j \in J _{i} }^n w_{ij} ( Y_{j} - \overline{Y} _{ J_{i} } )^2,$

где $J _{i}$ обозначает множество соседей региона $i$, $\overline{Y} _{J _{i} }$ – среднее значение рассматриваемого показателя в соседних для региона $i$ наблюдений, $w _{ij}$ – элемент взвешивающей матрицы, $n$ – число регионов.

С помощью локального индекса Морана можно проверить гипотезу $H _{0} :I _{i} =E(I _{i})$ (т. е. соседние с $i$-м регионы расположены случайным образом по рассматриваемому показателю) при альтернативной гипотезе:

• $H _{1} :I _{i} >E(I _{i})$ (т. е. регион $i$ расположен в локальном кластере)

  или

• $H _{1} :I _{i} <E(I _{i})$ (если у региона $i$ наблюдается высокое значение рассматриваемого показателя $Y$, то у соседних регионов соответствующие показатели являются низкими, и наоборот).

Эти гипотезы проверяются с помощью тестовой статистики $z= \frac{I _{ i}-E(I _{i})}{ \sqrt[ ]{Var(I _{i} )} }$, где $E(I _{i} )= \frac{-1}{n-1} \approx 0$ для стран с большим числом регионов (в том числе России). Для этой статистики известны математическое ожидание и некоторые моменты, в том числе дисперсия (Fischer, Wang, 2010, р. 28). Но точный закон соответствующего распределения тестовой статистики неизвестен, его приходится восстанавливать с помощью симуляций (это успешно реализовано во многих статистических пакетах) и вычислять p-значение (англ. p-value) для проверяемой гипотезы. При большом числе наблюдений часто в качестве аппроксимирующего используется нормальное распределение. Соответствующая процедура выбора между нулевой и альтернативной гипотезами имеет некоторые особенности (критическое значение p-value зависит от количества наблюдений n), а именно при выбранном уровне значимости $\alpha$ (например, 0,05) правило выбора между нулевой и альтернативной гипотезами имеет вид: если p-value$< \frac{ \alpha }{n}$, то гипотеза о случайном характере распределения регионов в окрестности $i$-го региона отвергается.

Локальные индексы Гири и Гетиса – Орда

Локальный индекс Гири для каждого из регионов $i=1,…,n$ используется аналогично локальному индексу Морана и определяется по формуле (Fischer, Wang, 2010, р. 29):

$с_{i} (Y)= \sum_{j∊J _{i} }^n w _{ij} (Y _{i}-Y _{j} )^2 .$

Локальные индексы Гетиса – Орда для каждого из регионов $i=1,…,n$ и расстояния $d$ определяются следующим образом (Fischer, Wang, 2010, р. 27):

$G _{i} (d,Y)= \frac{\sum_{j≠i}^n w _{ij}(d)Y _{j}}{ \sum_{j≠i}^n Y _{j}} , \text{ } G_i^* (d,Y) = \frac{\sum_{j=i}^n w_{ij}(d) Y _{j} }{\sum_{j=i}^n Y_{j}} ,$

где $w _{ij} (d) = 0$, если расстояние между регионами $i$ и $j$ больше $d$, и $w_{ij}(d)= \frac{1}{количество \ регионов,\ расстояние\ от\ которых \ до \ региона \ i  не \ превышает \ d }$, если расстояние между регионами $i$ и $j$ не превышает $d$. Отличие этих индексов состоит во включении или невключении в суммы показателя $Y _{i}$ для самого региона $i$.

С помощью локальных индексов Гетиса – Орда для каждого региона $i$ можно проверить гипотезу $H _{0} :G _{i} (d)=E(G _{i} (d))$ (т. е. регион $i$ не входит в локальный кластер по рассматриваемому показателю) при альтернативной гипотезе:

• $H _{1} :G _{i} (d)>E(G _{i} (d))$ (регион $i$ входит в локальный кластер с большими значениями рассматриваемого показателя, их часто называют hot spots)

  или

• $H _{1} :G _{i} (d)<E(G _{i} (d))$ (регион $i$ входит в локальный кластер с малыми значениями рассматриваемого показателя, их часто называют cold spots).

Алгоритм проверки соответствующей гипотезы с помощью $z$-статистики совпадает с описанным выше для локального индекса Морана (в этом случае также основная гипотеза отвергается, если p-value$<\frac{\alpha}{n}$).

Локальные индикаторы пространственной зависимости могут быть использованы для выявления локальных очагов нестационарности.