Фу́нкции Уи́ттекера, функции $M_{\lambda,\mu}(z)$ и $W_{\lambda,\mu}(z)$, которые являются решениями дифференциального уравнения Уиттекера

$$w''+\left(\frac{1/4-\mu^{2}}{z^{2}} +\frac{\lambda}{z}-\frac{1}{4}\right)w=0.\tag{*}$$Функция $W_{\lambda,\mu}$ вводится равенством

$$W_{\lambda, \mu}(z)= \frac{\Gamma(-2\mu)}{\Gamma(1/2-\lambda-\mu)} M_{\lambda,\mu}(z) +\frac{\Gamma(2\mu)}{\Gamma(1/2-\lambda+\mu)} M_{\lambda,-\mu}(z).$$Пары функций $M_{\lambda,\mu}(z)$ и $M_{\lambda,-\mu}(z), W_{\lambda,\mu}(z)$ и $W_{-\lambda,\mu}(-z)$ – линейно независимые решения уравнения (*). Точка $z=0$ – точка ветвления для $M_{\lambda,\mu}(z)$ и $W_{\lambda,\mu}(z)$, $z=\infty$ – существенно особая точка.

Связь с другими функциями:

c вырожденной гипергеометрической функцией:

$$M_{\lambda,\mu}(z)=z^{\mu+1/2} e^{-z/2} F_{1}(\mu-\lambda+1/2;2\mu+1;z),$$с модифицированной функцией Бесселя и функцией Макдональда:

$$M_{0,\mu}(z)=2^{2\mu}\Gamma(\mu+1)\sqrt{z} I_{\mu}\left(\frac{z}{2}\right), \quad W_{0,\mu}(z)=\sqrt{\frac{z}{\pi}} K_{\mu}\left(\frac{z}{2}\right),$$с интегралом вероятности: $$W_{-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}}(z)=\sqrt{\pi} z^{1/4}e^{z/2}\operatorname{erfc}(\sqrt{z}),$$с многочленами Лагерра: $$W_{n+\mu+5/2,\mu}(z)=(-1)^{n}z^{\mu+1/2}e^{-z/2} L_{n}^{2\mu}(z).$$