Фу́нкции Уи́ттекера, функции M λ , μ ( z ) M_{\lambda,\mu}(z) M λ , μ ( z ) и W λ , μ ( z ) W_{\lambda,\mu}(z) W λ , μ ( z ) , которые являются решениями дифференциального уравнения Уиттекера
w ′ ′ + ( 1 / 4 − μ 2 z 2 + λ z − 1 4 ) w = 0. (*) w''+\left(\frac{1/4-\mu^{2}}{z^{2}} +\frac{\lambda}{z}-\frac{1}{4}\right)w=0.\tag{*} w ′′ + ( z 2 1/4 − μ 2 + z λ − 4 1 ) w = 0. ( * ) Функция W λ , μ W_{\lambda,\mu} W λ , μ вводится равенством
W λ , μ ( z ) = Γ ( − 2 μ ) Γ ( 1 / 2 − λ − μ ) M λ , μ ( z ) + Γ ( 2 μ ) Γ ( 1 / 2 − λ + μ ) M λ , − μ ( z ) . W_{\lambda, \mu}(z)= \frac{\Gamma(-2\mu)}{\Gamma(1/2-\lambda-\mu)} M_{\lambda,\mu}(z) +\frac{\Gamma(2\mu)}{\Gamma(1/2-\lambda+\mu)} M_{\lambda,-\mu}(z). W λ , μ ( z ) = Γ ( 1/2 − λ − μ ) Γ ( − 2 μ ) M λ , μ ( z ) + Γ ( 1/2 − λ + μ ) Γ ( 2 μ ) M λ , − μ ( z ) . Пары функций M λ , μ ( z ) M_{\lambda,\mu}(z) M λ , μ ( z ) и M λ , − μ ( z ) , W λ , μ ( z ) M_{\lambda,-\mu}(z), W_{\lambda,\mu}(z) M λ , − μ ( z ) , W λ , μ ( z ) и W − λ , μ ( − z ) W_{-\lambda,\mu}(-z) W − λ , μ ( − z ) – линейно независимые решения уравнения (*). Точка z = 0 z=0 z = 0 – точка ветвления для M λ , μ ( z ) M_{\lambda,\mu}(z) M λ , μ ( z ) и W λ , μ ( z ) W_{\lambda,\mu}(z) W λ , μ ( z ) , z = ∞ z=\infty z = ∞ – существенно особая точка.
Связь с другими функциями:
c вырожденной гипергеометрической функцией :
M λ , μ ( z ) = z μ + 1 / 2 e − z / 2 F 1 ( μ − λ + 1 / 2 ; 2 μ + 1 ; z ) , M_{\lambda,\mu}(z)=z^{\mu+1/2} e^{-z/2} F_{1}(\mu-\lambda+1/2;2\mu+1;z), M λ , μ ( z ) = z μ + 1/2 e − z /2 F 1 ( μ − λ + 1/2 ; 2 μ + 1 ; z ) , с модифицированной функцией Бесселя и функцией Макдональда :
M 0 , μ ( z ) = 2 2 μ Γ ( μ + 1 ) z I μ ( z 2 ) , W 0 , μ ( z ) = z π K μ ( z 2 ) , M_{0,\mu}(z)=2^{2\mu}\Gamma(\mu+1)\sqrt{z} I_{\mu}\left(\frac{z}{2}\right), \quad W_{0,\mu}(z)=\sqrt{\frac{z}{\pi}} K_{\mu}\left(\frac{z}{2}\right), M 0 , μ ( z ) = 2 2 μ Γ ( μ + 1 ) z I μ ( 2 z ) , W 0 , μ ( z ) = π z K μ ( 2 z ) , с интегралом вероятности : W − 1 4 , 1 4 ( z ) = π z 1 / 4 e z / 2 erfc ( z ) , W_{-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}}(z)=\sqrt{\pi} z^{1/4}e^{z/2}\operatorname{erfc}(\sqrt{z}), W − 4 1 , 4 1 ( z ) = π z 1/4 e z /2 erfc ( z ) , с многочленами Лагерра : W n + μ + 5 / 2 , μ ( z ) = ( − 1 ) n z μ + 1 / 2 e − z / 2 L n 2 μ ( z ) . W_{n+\mu+5/2,\mu}(z)=(-1)^{n}z^{\mu+1/2}e^{-z/2} L_{n}^{2\mu}(z). W n + μ + 5/2 , μ ( z ) = ( − 1 ) n z μ + 1/2 e − z /2 L n 2 μ ( z ) .
Брычков Юрий Александрович , Прудников Анатолий Платонович