Гипергеометри́ческая фу́нкция, аналитическая функция $F$, которая является решением гипергеометрического уравнения

$$z(1-z)F″+ (γ-(α+β+1)z)F'-αβF= 0,$$где $α$, $β$, $γ$ – параметры, которые могут принимать комплексные значения, $z$ – комплексная переменная. Гипергеометрическая функция может быть записана в виде гипергеометрического ряда

$$F(α, β, γ; z)=1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{α(α+1)\ldots(α+n-1)}{γ(γ+1)\ldots(γ+n-1)}β(β+1)\ldots(β+n-1) \frac{z^n}{n!},$$который иногда называют рядом Гаусса. Этот ряд сходится при $|z|<1$, здесь предполагается, что $γ$ не равно нулю или целому отрицательному числу. Если $\text {Re}\,γ>\text{Re}\,β>0$ и $|\arg (1-z)|<π$, то для гипергеометрической функции справедлива формула Эйлера

$$F(α, β, γ; z)=\frac{Γ(γ)}{Γ(β)Γ(γ-β)} \int_0^1t^{β-1}(1-t)^{γ-β-1}(1-tz)^{-α}\,dt,$$где $Γ$ – гамма-функция. Через гипергеометрическую функцию выражаются многие элементарные функции, например

$$(1+z)^n=F(-n, 1, 1; –z),\\ \ln(1+z)=zF(1, 1, 2; –z),\\ \text {arcsin}\,z=zF \left( {1\over 2},{1\over2},{3\over 2};z^2 \right),$$и многие специальные функции.

Гипергеометрический ряд был впервые рассмотрен Л. Эйлером (1778). Теория этих рядов была развита К. Ф. Гауссом (1812).