Аддити́вная тео́рия чи́сел, раздел теории чисел, в котором изучаются задачи о разложении целых чисел на слагаемые заданного вида, а также алгебраические и геометрические аналоги таких задач, относящиеся к полям алгебраических чисел и множествам точек решётки. Эти задачи называются аддитивными задачами. Обычно рассматриваются аддитивные задачи о разложении больших чисел.

К классическим проблемам аддитивной теории чисел относятся: задача о представлении числа суммой четырёх квадратов, девяти кубов и т. д. (см. в статье Проблема Варинга); задача о представлении числа в виде суммы не более трёх простых (см. в статье Проблема Гольдбаха); задача о представлении числа в виде суммы простого и двух квадратов (см. в статье Проблема Харди – Литлвуда) и другие аддитивные проблемы. Для решения задач аддитивной теории чисел применяются аналитические, алгебраические, элементарные и смешанные методы, а также методы, основанные на вероятностных соображениях. В зависимости от методов решения аддитивные задачи входят составной частью в другие разделы теории чисел – аналитическую теорию чисел, алгебраическую теорию чисел, вероятностную теорию чисел.

Первые систематические результаты в аддитивной теории чисел были получены Л. Эйлером, который исследовал с помощью степенных рядов разложения целых чисел на положительные слагаемые; в частности, им была рассмотрена задача о разложении числа на заданное количество слагаемых.

Многие классические задачи аддитивной теории чисел решаются методом редукции к производящим функциям, который восходит к Л. Эйлеру и лежит в основе аналитических методов, развитых Г. X. Харди, Дж. И. Литлвудом и И. М. Виноградовым. Исходной является идея сопоставления заданным последовательностям $A_{i}=\left\{a_{i}\right\}$ (где $a_{i} \geqslant 0$ – целое, $i=1,2,3, \ldots$) степенных рядов

$$f_{i}(z)=\sum_{0 \leqslant a_{i}<\infty} z^{a_i}$$с производящей функцией

$$F(z)=\prod_{i=1}^{k} f_{i}(z)=\sum_{n=0}^{\infty} r(n) z^{n},$$где $r(n)=r_{k,A}(n)$ – количество представлений числа $n$ в виде

$$n=a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{k}, \quad a_{i} \in A_{i}, \quad A=\left\{A_{1}, A_{2}, \ldots\right\}.$$При этом $r(n)$ вычисляется при помощи интеграла Коши. В методе Виноградова степенные ряды заменяются тригонометрическими суммами

$$\begin{aligned} &f_{i}(\alpha)=\sum_{0 \leqslant a_{i} \leqslant n} \exp \left(2 \pi i \alpha a_{i}\right), \\ &r(n)=\int_{0}^{1} F(\alpha) \exp (-2 \pi i n \alpha)\, d \alpha. \end{aligned}$$Из $r(n)$ выделяется главная часть, состоящая из интервалов, распространённых на окрестности некоторых рациональных точек. Вместо аналитических свойств $F(z)$, требующих в ряде задач аддитивной теории чисел привлечения гипотез, аналогичных гипотезе Римана, центральную роль при вычислении $r(n)$ играют чисто арифметические оценки тригонометрических сумм по методу Виноградова и законы распределения простых чисел в арифметических прогрессиях, получаемые трансцендентными методами теории $L$-функций Дирихле. Устанавливается, что в зависимости от $k$ либо $r(n) \neq 0$ для всех $n \geqslant 1$, либо $r(n) \neq 0$ для достаточно больших $n$ $\left[n \geqslant n_{0}(A)\right]$, либо для почти всех $n$ выполняется соотношение $r(n) \neq 0$, т. е.

$$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sum_{n \leqslant x,\,\, r(n) \neq 0} 1\right) \big/ x=1,$$или, наконец, для $r(n)$ имеется асимптотическая формула. Наименьшее число $k$, удовлетворяющее одному из перечисленных условий, обозначается соответственно $g(A)$, $G(A)$, $G_{0}(A)$, $k_{0}(A).$ В случае $\left\{a_{i}\right\}=\{p\}$, где $\{p\}$ – последовательность простых чисел, при $k=3$ получается теорема Виноградова: всякое достаточно большое нечётное число может быть представлено в виде суммы трёх простых чисел; при $k=2$ – теорема Чудакова: почти все чётные числа могут быть представлены в виде суммы двух простых чисел.

Некоторые задачи аддитивной теории чисел решаются при помощи исследования структуры множеств, получающихся в результате суммирования последовательностей $A_{i}=\left\{a_{i}\right\}$, заданных лишь их плотностями $d\left({A}_{i}\right)=\inf\limits_n A_{i}(n) / n$, где $A_{i}(n)=\sum_{1 \leqslant a_{i} \leqslant n} 1$. Из положительности $d\left(A_{i}\right)$ при $A_{1} =A_{2}=\ldots=A_{k}=A$ уже следует, что $g(A)<\infty$. Применение этого факта к задачам аддитивной теории чисел, в которых суммируются последовательности нулевой плотности, осуществляется путём конструирования из данных последовательностей новых последовательностей с положительной плотностью. Ведущую роль при этом играют методы решета, с помощью которых доказывается положительность $d\left(A_{i}\right)$. Таким способом Л. Г. Шнирельманом доказана теорема о представимости натуральных чисел в виде суммы ограниченного числа простых слагаемых, Ю. В. Линником найдено элементарное решение проблемы Варинга.

Элементарные методы решета, принадлежащие В. Бруну (см. в статье Решето Бруна) и А. Сельбергу (см. в статье Решето Сельберга), приводят в ряде задач аддитивной теории чисел к результатам, недоступным пока современным аналитическим средствам. Однако наиболее законченные решения некоторых задач аддитивной теории чисел получаются путём комбинирования аналитических и элементарных методов. В методах решета принцип высеивания простых чисел из натурального ряда (см. в статье Решето Эратосфена) распространяется на совокупности последовательностей. Так, одновременное высеивание с должной точностью из последовательностей $\{m\}$ и $\{2n-m\}$ простых чисел, $\leqslant n^{\theta_1}$ и, соответственно, $\leqslant n^{\theta_2}$ (где $\theta_1<1$ и $\theta_2<1$ – надлежащим образом выбранные положительные константы), приводит к решению т. н. квазипроблемы Гольдбаха – Эйлера о представлении чётного числа суммой двух чисел, одно из которых имеет не более $k_1$, а другое – не более $k_2$ простых множителей.

В 1959 г. Ю. В. Линником при помощи созданного им дисперсионного метода была решена проблема Харди – Литлвуда, а именно, было доказано (Линник. 1961), что всякое достаточно большое натуральное число может быть представлено в виде суммы простого числа и двух квадратов целых чисел. Дисперсионным методом был решён ряд т. н. бинарных проблем, связанных с нахождением числа $Q(n)$ решений уравнения $\alpha+\beta = n$, где $\alpha$ и $\beta$ пробегают заданные последовательности чисел, достаточно хорошо распределённые в арифметических прогрессиях. Для метода Линника характерно использование элементарных теоретико-вероятностных понятий, применённых П. Л. Чебышёвым в его выводе закона больших чисел. С этой целью данное бинарное уравнение сводится к большому числу вспомогательных уравнений, для которых сопоставляются ожидаемые $(S_i(n))$ и истинные $Q_i(n)$ количества решений уравнений. Если подсчёт дисперсии показывает, что $Q_i(n)$ «в среднем» мало отличаются от $(S_i(n))$, то $Q(n)=\sum S_i(n)$ (с допустимой погрешностью). Дисперсионный метод был использован также для исследования общего уравнения Харди – Литлвуда.

Область применения дисперсионного метода пересекается с областью применения метода большого решета, разработанного Ю. В. Линником в 1941 г. Этот метод позволяет высеивать последовательности при помощи простых чисел с возрастающим числом выбрасываемых вычетов. Фактически метод большого решета является следствием законов распределения слабо зависимых случайных величин.

В аддитивной теории чисел существуют задачи, систематическое изучение которых относится к другим разделам теории чисел: проблема представимости целых чисел квадратичными формами и формами высших степеней; исследование диофантовых уравнений, допускающих трактовку с позиций общей аддитивной теории чисел.

В современной теории чисел интенсивно развиваются различные направления аддитивной теории чисел, наблюдается тенденция к перенесению проблем и методов аддитивной теории чисел на произвольные поля алгебраических чисел.