$\boldsymbol{L}$-фу́нкция Дирихле́ ($L$-pяд Дирихле; $L$-ряд), функция комплексного переменного $s = \sigma+it$, определяемая для всех характеров Дирихле $\chi\ {\rm mod}\, d$ рядом$$L(s,\chi) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\chi(n)}{n^s}. \tag{1}$$$L$-функции Дирихле ${\rm mod}\, d$ как функции действительного переменного $s$ введены в 1837 г. П. Г. Л. Дирихле (Дирихле. 1936) в связи с доказательством бесконечности простых чисел в арифметической прогрессии $dm+l$, разность $d$ и первый член $l$ которой – взаимно простые числа. Они представляют собой естественное обобщение дзета-функции Римана $\zeta(s)$ на арифметической прогрессии и служат мощным средством исследований в аналитической теории чисел (Дэвенпорт. 1971; Прахар. 1967; Чудаков. 1947).

Ряды (1), называемые рядами Дирихле, абсолютно и равномерно сходятся в любой конечной области комплексной $s$-плоскости, для которой $\sigma\ge 1+\gamma$, $\gamma > 0$. Если $\chi$ – неглавный характер, то$$L(s,\chi) = s\int_1^\infty \sum_{n\le u} \chi(n) u^{-s-1}\, du.\tag{2}$$В силу ограниченности суммы под знаком интеграла эта формула осуществляет аналитическое продолжение $L(s, \chi)$ как регулярной функции в полуплоскость $\sigma>0$.

Для любого $\chi\ {\rm mod}\, d$ справедливо представление $L(s, \chi)$ в виде произведения Эйлера по простым числам $p$:$$L(s,\chi) = \prod_p \Big(1-\frac{\chi(p)}{p^s}\Big)^{-1},\quad \sigma>1.\tag{3}$$Отсюда если $\chi = \chi_0$ – главный характер ${\rm mod}\, d$, то при $d = 1$ $$L(s,\chi_0)=\zeta(s),$$а для $d > 1$ $$L(s,\chi_0)=\zeta(s)\prod_{p\setminus d} \Big(1-\frac{1}{p^s}\Big).$$Поэтому свойства $L (s, \chi_0)$ на всей комплексной плоскости в основном определяются свойствами $\zeta(s)$. В частности, функция $L(s, \chi_0)$ регулярна для всех $s$, кроме $s=1$, где она имеет простой полюс с вычетом $d^{-1}\varphi(d)$, $\varphi$ – функция Эйлера. Если же $\chi\ne\chi_0$ и $\chi^*$ – примитивный характер, который индуцирует характер $\chi\ {\rm mod}\,d$, то$$L(s,\chi) = L(s,\chi^*)\prod_{p\setminus d}\Big(1-\frac{\chi^*(p)}{p^s}\Big).\tag{4}$$Тем самым в главном $L$-функции Дирихле с характерами $\chi\ne\chi_0$ сводятся к таковым для примитивных характеров. Это свойство $L$-функций Дирихле играет существенную роль, т. к. многие результаты, касающиеся $L(s,\chi)$ имеют простой вид лишь для примитивных характеров. В случае примитивного характера $\chi\ {\rm mod}\, d$ аналитическое продолжение на всю плоскость и функциональное уравнение функции $L(s,\chi)$ получаются прямым обобщением метода Римана для $\zeta(s).$ Результат, если положить$$\xi(s,\chi) = \Big(\frac{d}{\pi}\Big)^{\frac{s+\delta}{2}} \Gamma\Big(\frac{s+\delta}{2}\Big) L(s,\chi),\quad \delta = \frac{1-\chi(-1)}{2},$$имеет вид $$\xi(1-s,\overline \chi) = \varepsilon(\chi)\xi(s, \chi),\tag{5}$$где $\Gamma$ – гамма-функция, $\varepsilon(\chi)=i^\delta d^{1/2} /\tau(\chi)$, $|\varepsilon(\chi)|=1$, $\tau(\chi)$ – сумма Гаусса, $\overline\chi$ – характер, комплексно сопряжённый с $\chi$. Это равенство называется функциональным уравнением функции $L(s,\chi)$. Из него и формул (2) и (4) следует, что функции $L(s,\chi)$, $\xi(s, \chi)$ являются целыми функциями для всех $\chi\ne\chi_0$. Причём при $\sigma\le 0$ $L(s,\chi)=0$ лишь в точках $s = -2\nu-\delta$, $\nu = 0 , 1, 2, \dots$, и в точках $s$, где произведение из (4) обращается в нуль; эти точки называются тривиальными нулями $L (s, \chi)$. Остальные нули $L(s, \chi)$ называются нетривиальными нулями. Для $\sigma > 1$ функция $L (s, \chi)\ne 0$; Ш.-Ж. де Ла Валле Пуссен показал, что $L(1+it,\chi)\ne 0$; так что все нетривиальные нули $L$-функции Дирихле лежат в области $0< \sigma< 1$, которая называется критической полосой.

Распределение нетривиальных нулей, вообще значений $L (s, \chi)$ в критической полосе, является важнейшей проблемой теории $L$-функций Дирихле, имеющей фундаментальное значение для теории чисел.

То, что каждая из функций $L (s, \chi)$ имеет бесконечно много нетривиальных нулей и что законы распределения простых чисел в арифметических прогрессиях находятся в прямой зависимости от расположения этих нулей, показывают соответствующие аналоги формул Римана. Именно, пусть $N(T,\chi)$ – число нулей функции $L(s, \chi)$ с примитивным $\chi\ {\rm mod}\, d$ в прямоугольнике $0<\sigma<1$, $|t|< T$, $T\ge 2$. Тогда$$\frac{1}{2} N(T,\chi) = \frac{T}{2\pi} {\rm ln}\,\frac{Td}{2\pi}-\frac{T}{2\pi}+O({\rm ln}\, Td).$$Пусть $\Lambda(n)$ – функция Мангольдта, $1\le l\le d$, $(l, d) = 1$, $$\begin{gathered} \psi(x; d, l) = {\Large \Sigma}_{n\le x,\, n\equiv l\,({\rm mod}\, d)} \Lambda(n),\\ \psi(x;\chi) = {\Large \Sigma}_{n\le x} \chi(n)\Lambda(n). \end{gathered}$$Тогда по свойству ортогональности характеров$$\psi(x; d,l) = \frac{1}{\varphi(d)}{\Large \Sigma}_{\chi\,{\rm mod}\,d}\overline \chi(l)\psi(x;\chi),\tag{6}$$где суммирование производится по всем характерам $\chi\ {\rm mod}\, d$, и для $\chi$-примитивного характера $\chi$, $\alpha = 1–\delta$: $$\psi(x; \chi) = -\sum_\rho \frac{x^\rho}{\rho} + \sum_{m=1}^\infty \frac{x^{\delta-2m}}{2m-\delta}-\underset{s\to 0}{\rm lim}\, \Big\{\frac{L'(\alpha s,\chi)}{L(\alpha s,\chi)}-\frac{\alpha}{s}\Big\} - \alpha{\rm ln}\,x,$$где $\rho = \beta+i\gamma$ пробегает нетривиальные нули $L(s,\chi)$, $L'$ – производная $L$ по $s$.

Практически более полезны приближённые формулы для $\psi(x;\alpha)$: для произвольного $\chi\ne\chi_0$, $2\le T\le x$, $$\psi(x;\chi) = -\sum_{|\gamma|<T}\frac{x^\rho}{\rho} +\sum_{|\gamma|<1} \frac{1}{\rho}+ O\Big(\frac{x}{T}\,{\rm ln}^2\, xd\Big),\tag{7}$$а для $\chi=\chi_0$ $$\psi(x;\chi_0) = \sum_{n\le x}\Lambda(n) + O({\rm ln}\, x {\rm ln}\, d).\tag{8}$$Последняя функция вносит в сумму (6) величину, представляющую главный член.

Существует гипотеза, называемая расширенной гипотезой Римана, о том, что все нетривиальные нули $L$-функции Дирихле лежат на прямой $\sigma = 1/2$. Если эта гипотеза справедлива, то для $d\le x$ $$\psi(x; d,l) = \frac{x}{\varphi(d)} + O(\sqrt{x} {\rm ln}^2 x),$$и многие другие важные проблемы теории чисел получили бы своё окончательное решение. Однако вопросы, касающиеся расположения нетривиальных нулей $L$-функции Дирихле, исключительно трудны, причём для комплексных характеров получены более сильные результаты, чем для действительных.

Обобщением метода, указанного в 1899 г. Ш.-Ж. Валле Пуссеном для функции $\zeta(s)$, получена граница нетривиальных нулей $L(s,\chi)$: для комплексного характера $\chi\ {\rm mod}\, d$ существует абсолютная постоянная $C$ такая, что $L (s, \chi)$ не имеет нулей в области$$\sigma>1-C/{\rm ln}\, d (|t|+2);$$если же $\chi$ – действительный неглавный характер ${\rm mod}\, d$, то $L (s, \chi)$ может иметь в этой области самое большое один простой действительный ($t=0$) нуль, который называется исключительным нулём $L (s, \chi)$. Для исключительного нуля $\beta$ из формул числа классов квадратичных полей выведено неравенство$$\beta\le 1-C/d^{1/2}{\rm ln}^2\, d.$$Последняя известная граница для $\beta$ указана в 1935 г. К. Зигелем (С. Siegel): при любом $\varepsilon > 0$ существует положительное число $C(\varepsilon)$ такое, что$$\beta\le 1-C(\varepsilon) d^{-\varepsilon}.$$Эта оценка имеет, однако, существенный недостаток – она является неэффективной в том смысле, что по заданному $\varepsilon$ нельзя оценить численное значение постоянной $C(\varepsilon)$. Таким же недостатком страдают и теоретико-числовые результаты, вывод которых опирается на оценку Зигеля.

Вследствие указанных границ для нетривиальных нулей $L$-функции Дирихле и формул (6)–(8) справедлив асимптотический закон распределения простых чисел в виде:$$\psi(x; d,l) = \frac{x}{\varphi(d)} + O\big(x\,\exp{\big[-C_1\sqrt{{\rm ln}\, x}\big]}\big),$$где $C_1$ – абсолютная постоянная для $d\le ({\rm ln}\, x)^{1-\gamma}$ при некотором фиксировании $\gamma > 0$ и $C_1=C_1(N)$ – «неэффективная» постоянная для $d\le ({\rm ln}\, d)^N$ при любом фиксированном $N>1-\gamma$.

Эти результаты являются лучшими в проблеме равномерного распределения простых чисел в арифметических прогрессиях растущей разности $d$. Для фиксированных значений $d$ известно несколько больше. В таком случае теория $L$-функций Дирихле при $t\ne 0$ во многом аналогична теории дзета-функции Римана (Walfisz. 1963) и последняя граница нулей $L(s, \chi)$, полученная по методу Виноградова оценки тригонометрических сумм, имеет вид:$$\begin{gathered} L(s,\chi)\ne 0\\ \text{для } \sigma>1-C/{\rm ln}^{2/3}(|t|+2){\rm ln}^{1/3}{\rm ln}\,(|t|+2), \end{gathered}$$где $C$ – положительная постоянная, зависящая от $d$.

Этой границе нетривиальных нулей $L$-функции Дирихле фиксированного ${\rm mod}\, d$ отвечает лучший (1977) остаточный член в асимптотической формуле для $\psi(x;d,l)$ в виде:$$\ll x \exp{\big[-C {\rm ln}^{3/5} x \big| {\rm ln}^{1/5}{\rm ln}\,x\big]}.$$Все формулы относительно асимптотики функции $\psi(x;d,l)$ имеют аналоги для функции $\pi(x;d,l)$ – числа простых чисел $p\le x$, $p\equiv l\ ({\rm mod}\, d)$, с главным членом ${\rm li}\,x/\varphi(d)$ вместо $x/\varphi(d)$ и остаточным членом, меньшим на множитель ${\rm ln}\, x$.

К числу основных направлений исследований в современной теории $L$-функций Дирихле относятся также исследования плотности распределения нетривиальных нулей $L$-функции Дирихле, содержание которых составляют оценки величин:$$\begin{gathered} N(\sigma, T,\chi),\quad {\Large\Sigma}_{\chi\ {\rm mod}\, d} N(\sigma, T,\chi),\quad {\Large\Sigma}_{d\le D}{\Large\Sigma}_{\chi^*{\rm mod}\,d} N(\sigma, T,\chi), \end{gathered}$$где $N(\sigma,T,\chi)$ обозначает число нулей $L(s, \chi)$ в прямоугольнике $0<\alpha\le\sigma<1$, $|t|<T$, $\chi^*$ – примитивный характер ${\rm mod}\,d$.