Банахово пространство

Ба́нахово простра́нство, полное линейное нормированное пространство. Банахово пространство – одно из важнейших понятий современного математического и функционального анализа. Название «банахово пространство» связано с именем С. Банаха, который дал общее определение банахова пространства и начал систематическое изучение таких пространств. Базой для исследований Банаха послужили пространства функций и пространства последовательностей, введённые в начале 20 в. Д. Гильбертом, А. Л. Лебегом, М. Р. Фреше, Ф. Риссом.

Наличие линейной структуры в банаховом пространстве означает, что в нём определено умножение элементов на комплексные (или действительные) числа и для произвольной пары элементов определена их сумма. Операции сложения и умножения подчинены аксиомам векторного пространства. Линейное пространство называется нормированным, если каждому его элементу ${\displaystyle x}$ поставлено в соответствие неотрицательное число ${\displaystyle \|x\|}$ такое, что:

1) ${\displaystyle \|x\|=0}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle x=0}$;

2) ${\displaystyle \|\lambda x\|=\mid \lambda \mid \|x\|}$ для любого комплексного (или действительного) числа ${\displaystyle \lambda }$;

3) ${\displaystyle \|x+y\|{\leqslant }\|x\|+\|y\|}$ для любых пар ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ элементов линейного пространства.

Число ${\displaystyle \|x\|}$ называется нормой элемента ${\displaystyle x}$. Полнота нормированного пространства ${\displaystyle X}$ означает, что для любой последовательности элементов ${\displaystyle x_{k}}$ из ${\displaystyle X}$ такой, что ${\displaystyle \|x_{k}-x_{n}\|\rightarrow 0}$ при ${\displaystyle k,n\rightarrow \infty }$, существует элемент ${\displaystyle x}$ в пространстве ${\displaystyle X}$ такой, что ${\displaystyle \|x-x_{k}\|\rightarrow 0}$ при ${\displaystyle k\rightarrow \infty }$.

Важным частным случаем банахова пространства является гильбертово пространство, в котором наряду с линейной структурой задано скалярное произведение ${\displaystyle (x,y)}$, причём ${\displaystyle \|x\|={\sqrt {(x,x)}}}$.

Особую роль играют сепарабельные банаховы пространства. Нормированное пространство ${\displaystyle X}$ называется сепарабельным, если в нём существует счётное множество элементов ${\displaystyle \left\{x_{1},x_{2},...\right\}}$, которое плотно в ${\displaystyle X}$, т. е. для любого ${\displaystyle \epsilon >0}$ и любого элемента ${\displaystyle x}$ из ${\displaystyle X}$ найдётся элемент ${\displaystyle x_{k}}$ из множества ${\displaystyle \left\{x_{1},x_{2},...\right\}}$ такой, что ${\displaystyle \|x-x_{k}\|<\epsilon }$. Примерами банаховых пространств являются пространство ${\displaystyle C[a,b]}$ непрерывных на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ функций ${\displaystyle f(x)}$ с нормой

${\displaystyle \|f\|=\max \limits _{a{\leqslant }x{\leqslant }b}\mid {f(x)}\mid }$,

где максимум берётся по ${\displaystyle x\in [a,b]}$; пространство ${\displaystyle L_{p}[a,b],p{\geqslant }1}$, состоящее из функций, интегрируемых в ${\displaystyle p}$-й степени по Лебегу, с нормой

${\displaystyle \|f\|=\left(\int \limits _{a}^{b}\mid f(x)\mid ^{p}dx\right)^{1/p}}$;

пространство ${\displaystyle l_{p},p{\geqslant }1}$, бесконечных последовательностей ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},...)}$ с нормой

${\displaystyle \|x\|=\left(\sum _{k=1}^{\infty }\mid x_{k}\mid ^{p}\right)^{1/p}}$.

Все эти пространства сепарабельны, а пространства ${\displaystyle L_{2}[a,b]}$ и ${\displaystyle l_{2}}$ – гильбертовы. В современном анализе используются различные конкретные функциональные банаховы пространства, в частности пространства Соболева, Харди, Бесова.

Наряду с банаховым пространством ${\displaystyle B}$ рассматривается сопряжённое с ним пространство ${\displaystyle B^{*}}$, состоящее из линейных непрерывных функционалов на ${\displaystyle B}$, т. е. линейных непрерывных отображений пространства ${\displaystyle B}$ в поле комплексных (или действительных) чисел. Пространство ${\displaystyle B^{*}}$ с нормой ${\displaystyle \|f\|=\sup {\mid }f(x)\mid }$, где супремум берётся по всем ${\displaystyle x,\|x\|{\leqslant }1}$, также является банаховым пространством. Важную роль в теории банаховых пространств играют следующие теоремы: теорема Хана – Банаха о возможности продолжения выпуклых функционалов с подпространства банахова пространства на всё пространство с сохранением подчинения (в частности, о возможности продолжения линейных функционалов без увеличения нормы); теорема Банаха – Штейнгауза о равномерной ограниченности, утверждающая, что если последовательность линейных ограниченных операторов ${\displaystyle A_{n}}$ такова, что числовая последовательность ${\displaystyle \|A_{n}x\|}$ ограничена для каждого элемента ${\displaystyle x}$ банахова пространства, то ${\displaystyle \|A_{n}x\|{\leqslant }C\|x\|}$ с некоторой постоянной ${\displaystyle C}$, не зависящей от ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle x}$; теорема Банаха об обратном операторе, утверждающая, что если линейный непрерывный оператор отображает одно банахово пространство на другое взаимно однозначно, то обратный оператор тоже непрерывен.